【题目】如图,某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20 cm,高为cm的圆锥形漏斗,要求只能有一条接缝(接缝忽略不计),请问:选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮,才能使所用材料最省?
【答案】选长为90 cm,宽为60 cm的矩形铁皮,才能使所用材料最省.
【解析】
由于底面半径,高线,母线正好组成直角三角形,可由勾股定理求得母线长,则扇形的圆心角=底面周长×180÷(母线长×π),可在一长方形内画出一半径为60,圆心角为120°的扇形,有两种方案,由矩形和直角三角形的性质求得矩形长和宽,进而求得矩形的面积,比较即可得出用材料最省的方案.
∵圆锥形漏斗的底面半径为20cm,高为cm,∴圆锥的母线长为R60(cm).
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°,则有=2π×20,解得:n=120.
方案一:如图①,扇形的半径为60 cm,矩形的宽为60 cm,易求得矩形的长为 cm.
此时矩形的面积为= (cm2).
方案二:如图②,扇形与矩形的两边相切,有一边重合,易求得矩形的宽为60 cm,长为30+60=90(cm),此时矩形的面积为90×60=5 400(cm2).
∵>5400,∴方案二所用材料最省,即选长为90 cm,宽为60 cm的矩形铁皮,才能使所用材料最省.
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【题目】如图1,已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点D和点B关于过点A的直线l:y=﹣x﹣对称.
(1)求A、B两点的坐标及二次函数解析式;
(2)如图2,作直线AD,过点B作AD的平行线交直线1于点E,若点P是直线AD上的一动点,点Q是直线AE上的一动点.连接DQ、QP、PE,试求DQ+QP+PE的最小值;若不存在,请说明理由:
(3)将二次函数图象向右平移个单位,再向上平移3个单位,平移后的二次函数图象上存在一点M,其横坐标为3,在y轴上是否存在点F,使得∠MAF=45°?若存在,请求出点F坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知反比例函数y=(k≠0,k是常数)的图象过点P(-3,5).
(1)求此反比例函数的解析式;
(2)在函数图象上有两点(a1,b1)和(a2,b2),若a1<a2,试判断b1与b2的大小关系.
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【题目】如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A、B、C的坐标;
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形PQMN的周长最大时,求△AEM的面积;
(3)在(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=DQ,求点F的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,且点D是BC的中点.
(1)求证:△ABC为等边三角形.
(2)求DE的长.
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【题目】如图:已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC与⊙O相交于点D,连结AD并延长,与BC相交于点E。
(1)若BC=,CD=1,求⊙O的半径;
(2)取BE的中点F,连结DF,求证:DF是⊙O的切线。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点,其中A、B两点的坐标分别为(-1,0),(0,-2),点D在x轴上且AD为⊙M的直径.点E是⊙M与y轴的另一个交点,过劣弧ED上的点F作FH⊥AD于点H,且FH=1.5.
(1)求点D的坐标及该抛物线对应的函数表达式;
(2)若点P是x轴上的一个动点,试求出△PEF的周长最小时点P的坐标.
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【题目】某小区开展了“行车安全,方便居民”的活动,对地下车库作了改进.如图,这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米,它的坡度为i=1:2.4,AB⊥BC,为了居民行车安全,现将斜坡的坡角改为13°,即∠ADC=13°(此时点B、C、D在同一直线上).
(1)求这个车库的高度AB;
(2)求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离(结果精确到0.1米).
(参考数据:sin13°≈0.225,cos13°≈0.974,tan13°≈0.231,cot13°≈4.331)
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