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【题目】如图1,已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点D和点B关于过点A的直线l:y=﹣x﹣对称.

(1)求A、B两点的坐标及二次函数解析式;

(2)如图2,作直线AD,过点BAD的平行线交直线1于点E,若点P是直线AD上的一动点,点Q是直线AE上的一动点.连接DQ、QP、PE,试求DQ+QP+PE的最小值;若不存在,请说明理由:

(3)将二次函数图象向右平移个单位,再向上平移3个单位,平移后的二次函数图象上存在一点M,其横坐标为3,在y轴上是否存在点F,使得∠MAF=45°?若存在,请求出点F坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)A(﹣,0),B(,0);抛物线解析式y=x2+x﹣;(2)12;(3)(0,),(0,﹣

【解析】

(1)y=mx2+3mx﹣m中令y=0,解方程求得x的值即可求得A、B的坐标,继而根据已知求出点D的坐标,把点D坐标代入函数解析式y=mx2+3mx﹣m利用待定系数法求得m即可得函数解析式;

(2)先求出直线AD解析式,再根据直线BEAD,求得直线BE解析式,继而可得点E坐标,如图2,作点P关于AE 的对称点P',作点E关于x轴的对称点E',根据对称性可得PQ=P'Q,PE=EP'=P'E',从而有DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E',可知当D,Q,E'三点共线时,DQ+PQ+PE值最小,即DQ+PQ+PE最小值为DE',根据D、E'坐标即可求得答案;

(3)分情况进行讨论即可得答案.

1)∵令y=0,

0=m x2+3mx﹣m,

x1=,x2=﹣

A(﹣,0),B(,0),

∴顶点D的横坐标为﹣

∵直线y=﹣x﹣ x轴所成锐角为30°,且D,B关于y=﹣x﹣对称

∴∠DAB=60°,且D点横坐标为﹣

D(﹣,﹣3),

﹣3=m﹣m﹣m,

m=

∴抛物线解析式y=x2+x﹣

(2)A(﹣,0),D(﹣,﹣3),

∴直线AD解析式y=﹣x﹣

∵直线BEAD,

∴直线BE解析式y=﹣x+

x﹣=﹣x+

x=

E(,﹣3),

如图2,作点P关于AE 的对称点P',作点E关于x轴的对称点E',

根据对称性可得PQ=P'Q,PE=EP'=P'E',

DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E',

∴当D,Q,E'三点共线时,DQ+PQ+PE值最小

DQ+PQ+PE最小值为DE',

D(﹣,﹣3),E'(,3),

DE'=12,

DQ+PQ+PE最小值为12;

(3)∵抛物线y=(x+2﹣3图象向右平移个单位,再向上平移3个单位

∴平移后解析式y=x2

x=3时,y=3

M (3,3),

如图3

若以AM为直角边,点M是直角顶点,在AM上方作等腰直角AME,则∠EAM=45°,

直线AEy轴于F点,作MGx轴,EHMG,则EHM≌△AMG,

A(﹣,0),M(3,3),

E(3﹣3,3+),

∴直线AE解析式:y=x+

F(0,),

若以AM为直角边,点M是直角顶点,在AM上方作等腰直角AME,

同理可得:F(0,﹣).

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