【题目】如图1,已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点D和点B关于过点A的直线l:y=﹣x﹣对称.
(1)求A、B两点的坐标及二次函数解析式;
(2)如图2,作直线AD,过点B作AD的平行线交直线1于点E,若点P是直线AD上的一动点,点Q是直线AE上的一动点.连接DQ、QP、PE,试求DQ+QP+PE的最小值;若不存在,请说明理由:
(3)将二次函数图象向右平移个单位,再向上平移3个单位,平移后的二次函数图象上存在一点M,其横坐标为3,在y轴上是否存在点F,使得∠MAF=45°?若存在,请求出点F坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(﹣,0),B(,0);抛物线解析式y=x2+x﹣;(2)12;(3)(0,),(0,﹣)
【解析】
(1)在y=mx2+3mx﹣m中令y=0,解方程求得x的值即可求得A、B的坐标,继而根据已知求出点D的坐标,把点D坐标代入函数解析式y=mx2+3mx﹣m利用待定系数法求得m即可得函数解析式;
(2)先求出直线AD解析式,再根据直线BE∥AD,求得直线BE解析式,继而可得点E坐标,如图2,作点P关于AE 的对称点P',作点E关于x轴的对称点E',根据对称性可得PQ=P'Q,PE=EP'=P'E',从而有DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E',可知当D,Q,E'三点共线时,DQ+PQ+PE值最小,即DQ+PQ+PE最小值为DE',根据D、E'坐标即可求得答案;
(3)分情况进行讨论即可得答案.
(1)∵令y=0,
∴0=m x2+3mx﹣m,
∴x1=,x2=﹣,
∴A(﹣,0),B(,0),
∴顶点D的横坐标为﹣,
∵直线y=﹣x﹣ 与x轴所成锐角为30°,且D,B关于y=﹣x﹣对称,
∴∠DAB=60°,且D点横坐标为﹣,
∴D(﹣,﹣3),
∴﹣3=m﹣m﹣m,
∴m=,
∴抛物线解析式y=x2+x﹣;
(2)∵A(﹣,0),D(﹣,﹣3),
∴直线AD解析式y=﹣x﹣,
∵直线BE∥AD,
∴直线BE解析式y=﹣x+,
∴﹣x﹣=﹣x+,
∴x=,
∴E(,﹣3),
如图2,作点P关于AE 的对称点P',作点E关于x轴的对称点E',
根据对称性可得PQ=P'Q,PE=EP'=P'E',
∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E',
∴当D,Q,E'三点共线时,DQ+PQ+PE值最小,
即DQ+PQ+PE最小值为DE',
∵D(﹣,﹣3),E'(,3),
∴DE'=12,
∴DQ+PQ+PE最小值为12;
(3)∵抛物线y=(x+)2﹣3图象向右平移个单位,再向上平移3个单位,
∴平移后解析式y=x2,
当x=3时,y=3,
∴M (3,3),
如图3
若以AM为直角边,点M是直角顶点,在AM上方作等腰直角△AME,则∠EAM=45°,
直线AE交y轴于F点,作MG⊥x轴,EH⊥MG,则△EHM≌△AMG,
∵A(﹣,0),M(3,3),
∴E(3﹣3,3+),
∴直线AE解析式:y=x+,
∴F(0,),
若以AM为直角边,点M是直角顶点,在AM上方作等腰直角△AME,
同理可得:F(0,﹣).
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【题目】如图,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A,B两点,
其中A(-1,0),与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线的表达式及点B坐标;
(2)点E是线段BC上的任意一点(点E与B、C不重合),过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G.
①设点E的横坐标为m,用含有m的代数式表示线段EF的长;
②线段EF长的最大值是 .
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【题目】已知在四边形中,,,点,分别在射线,上,满足.
(1)如图1,若点,分别在线段,上,求证:;
(2)如图2,若点,分别在线段延长线与延长线上,请直接写出与的数量关系.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B、M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
(1)判断AE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BC=6,AC=4CE时,求⊙O的半径.
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【题目】已知,如图,∠B=∠C=90 ,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
(1)若连接AM,则AM是否平分∠BAD?请你证明你的结论;
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系?请说明理由.
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【题目】如图,过A(8,0)、B(0,8)两点的直线y1与直线y2=x+2交于点C.直线y2与x轴、y轴分别交于点D和点E.
(1)动点M从A点出发沿AB运动,运动的速度是每秒1个单位长度:当点M运动到B点时停止运动,设M运动时间为t秒,△ADM的面积为S,求S与t的函数关系式.
(2)在y轴上是否存在点P,使△ACP为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】A、B两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行,s(千米)表示汽车与甲地的距离,t(分)表示汽车行驶的时间,如图,L1,L2分别表示两辆汽车的s与t的关系.
(1)L1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系?
(2)汽车B的速度是多少?
(3)求L1,L2分别表示的两辆汽车的s与t的关系式.
(4)2小时后,两车相距多少千米?
(5)行驶多长时间后,A、B两车相遇?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A(n,0)是 x 轴上一点,点 B(0,m)是y轴上一点,且满足多项式(x+m)(nx-2)的积中 x的二次项与一次项系数均为2.
(1)求出A,B两点坐标.
(2)如图1,点M为线段OA上一点,点P为 x 轴上一点,且满足BM=MN,∠NAP=45°,证明:BM⊥MN.
(3)如图2,过O作OF⊥AB于F,以OB为边在y轴左侧作等边△OBM,连接AM交OF于点N,试探究:在线段AF,AN,MN中,哪条线段等于AM与ON差的一半?请写出这个等量关系并证明.
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