【题目】已知在四边形中,,,点,分别在射线,上,满足.
(1)如图1,若点,分别在线段,上,求证:;
(2)如图2,若点,分别在线段延长线与延长线上,请直接写出与的数量关系.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠EBF=90°+∠ADC.
【解析】
(1)如图,延长DA到G,使AG=CF,连接BG,根据及四边形内角和可得∠C+∠DAB=180°,可知∠C=∠GAB,利用SAS可证明△GAB≌△FCB,可得BG=BF,∠ABG=∠CBF,根据角的和差关系可得∠GBF=∠ABC,利用SSS可证明△GBE≌△FBE,可得∠GBE=∠EBF=∠ABC,根据即可得结论;(2)延长CD到H,使CH=AE,根据四边形内角和可得∠BCH=∠BAE,利用SAS可证明△BCH≌△BAE,可得BE=BH,∠ABE=∠HBC,根据角的和差关系可得∠EBH=∠ABC,根据EF=AE+CF可得EF=FH,利用SSS可证明△EBF≌△HBF,可得∠EBF=∠HBF,根据周角的定义即可得答案.
(1)如图,延长DA到G,使AG=CF,连接BG,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠C+∠DAB=180°,
∵∠GAB+∠DAB=180°,
∴∠C=∠GAB,
在△GAB和△FCB中,,
∴△GAB≌△FCB,
∴BG=BF,∠ABG=∠CBF,
∴∠ABF+∠ABG=∠ABF+∠CBF,即∠GBF=∠ABC,
∵EF=AE+CF,AG=CF,
∴EF=AE+AG=GE,
在△GBE和△FBE中,,
△GBE≌△FBE,
∴∠GBE=∠EBF,
∴∠EBF=∠GBF=∠ABC=(180°-∠ADC)=90°-∠ADC.
(2)延长CD到H,使CH=AE,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BCD+∠DAB=180°,
∵∠EAB+∠DAB=180°,
∴∠BCD=∠EAB,
在△BAE和△BCH中,,
∴△BAE≌△BCH,
∴BE=BH,∠ABE=∠HBC,
∴∠ABE+∠ABH=∠HBC+∠ABH,即∠EBH=∠ABC,
∵EF=AE+CF,CH=AE,
∴EF=CH+CF=FH,
在△EBF和△HBF中,,
∴△EBF≌△HBF,
∴∠EBF=∠HBF,
∴∠EBF+∠FBH+∠EBH=2∠EBF+∠ABC=2∠EBF+(180°-∠ADC)=360°,
∴∠EBF=90°+∠ADC.
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【题目】在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为 20 元/千克,售价不低于 20 元/千克,且不超过 32 元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量 y(千克)与该天的售价 x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.
销售量 y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售价 x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天这种水果的售价为 23.5 元/千克,求当天该水果的销售量.
(2)如果某天销售这种水果获利 150 元,那么该天水果的售价为多少元?
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【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若AB=10,cos∠BAC=,求BD的长及⊙O的半径.
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【题目】如图,在四边形中,,,.分别以点,为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于点,作射线交于点,交于点.若点是的中点,的周长为8,则的长为( )
A.2B.3C.4D.5
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【题目】一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“ 香”、“ 历”、“ 城”的四个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀.
(1)若从中任取一个球,球上的汉字刚好是 “书”的概率为__________.
(2)从中任取一球,不放回,再从中任取一球,请用树状图或列表的方法,求取出的两个球上的汉字能组成“历城”的概率.
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【题目】如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE,点M、N分别是BD、GE的中点,若BC=14,CE=2,则MN的长( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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【题目】如图1,已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点D和点B关于过点A的直线l:y=﹣x﹣对称.
(1)求A、B两点的坐标及二次函数解析式;
(2)如图2,作直线AD,过点B作AD的平行线交直线1于点E,若点P是直线AD上的一动点,点Q是直线AE上的一动点.连接DQ、QP、PE,试求DQ+QP+PE的最小值;若不存在,请说明理由:
(3)将二次函数图象向右平移个单位,再向上平移3个单位,平移后的二次函数图象上存在一点M,其横坐标为3,在y轴上是否存在点F,使得∠MAF=45°?若存在,请求出点F坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知在△ABC中,点D、E分别是AB、AC上一点,且AD=AE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.试判断△BCF的形状,并说明理由.
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