Question

【题目】如图，在四边形中，，，.分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点.若点是的中点，的周长为8，则的长为（ ）

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据平行线的性质可得∠FAC=∠BCA，∠DAB+∠ABC=180°，可得∠DAB=∠ADC，利用ASA可证明△AOF≌△COB，可得AF=BC=3，即可证明四边形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，根据作图可知点E在线段AC的垂直平分线上，由点O为AC中点可得BE是AC的垂直平分线，可得AF=FC，AB=BC，即可求出FC=CD=BC=3，根据△CDF的周长求出DF的长即可.

∵AD//BC，

∴∠FAC=∠ACB，∠DAB+∠ABC=180°，

∵，

∴∠DAB=∠ADC，

∴四边形ABCD是等腰梯形，

∴AB=CD，

∵点O为AC中点，

∴OA=OC，

在△AOF和△COB中，，

∴△AOF≌△COB，

∴AF=BC=3，

∵以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，

∴点E在线段AC的垂直平分线上，

∵点O是AC中点，交于点，

∴BE是AC的垂直平分线，

∴AF=FC，AB=BC，

∴FC=CD=BC=3，

∵△CDF的周长是8，

∴DF=8-CF-CD=2，

故选A.