【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B、M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
(1)判断AE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BC=6,AC=4CE时,求⊙O的半径.
【答案】(1)AE与⊙O相切.理由见解析.(2)2.4
【解析】
(1)连接OM,则OM=OB,利用平行的判定和性质得到OM∥BC,∠AMO=∠AEB,再利用等腰三角形的性质和切线的判定即可得证;
(2)设⊙O的半径为r,则AO=12﹣r,利用等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识得到AB=12,易证△AOM∽△ABE,根据相似三角形的性质即可求解.
解:(1)AE与⊙O相切.
理由如下:
连接OM,则OM=OB,
∴∠OMB=∠OBM,
∵BM平分∠ABC,
∴∠OBM=∠EBM,
∴∠OMB=∠EBM,
∴OM∥BC,
∴∠AMO=∠AEB,
在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,
∴AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,
∴∠AMO=90°,
∴OM⊥AE,
∴AE与⊙O相切;
(2)在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,
∴BE=BC,∠ABC=∠C,
∵BC=6,cosC=,
∴BE=3,cos∠ABC=,
在△ABE中,∠AEB=90°,
∴AB===12,
设⊙O的半径为r,则AO=12﹣r,
∵OM∥BC,
∴△AOM∽△ABE,
∴,
∴=,
解得:r=2.4,
∴⊙O的半径为2.4.
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【题目】对于实数a,b,我们可以用min{a,b}表示a,b两数中较小的数,例如min{3,-1}=-1,min{2,2}=2. 类似地,若函数y1、y2都是x的函数,则y=min{y1, y2}表示函数y1和y2的“取小函数”.
(1)设y1=x,y2=,则函数y=min{x, }的图像应该是 中的实线部分.
(2)请在下图中用粗实线描出函数y=min{(x-2)2, (x+2)2}的图像,并写出该图像的三条不同性质:
① ;
② ;
③ ;
(3)函数y=min{(x-4)2, (x+2)2}的图像关于 对称.
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【题目】如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE,点M、N分别是BD、GE的中点,若BC=14,CE=2,则MN的长( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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【题目】如图,已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点E.另一组对边AB、DC的延长线相交于点F,若cos∠ABC=cos∠ADC=,CD=5,CF=ED=n,则AD的长为_____(用含n的式子表示).
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【题目】如图1,已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),顶点D和点B关于过点A的直线l:y=﹣x﹣对称.
(1)求A、B两点的坐标及二次函数解析式;
(2)如图2,作直线AD,过点B作AD的平行线交直线1于点E,若点P是直线AD上的一动点,点Q是直线AE上的一动点.连接DQ、QP、PE,试求DQ+QP+PE的最小值;若不存在,请说明理由:
(3)将二次函数图象向右平移个单位,再向上平移3个单位,平移后的二次函数图象上存在一点M,其横坐标为3,在y轴上是否存在点F,使得∠MAF=45°?若存在,请求出点F坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,点P为x轴正半轴上的一个点,过点P作x轴的垂线,交函数的图象于点A,交函数的图象于点B,过点B作x轴的平行线,交于点C,边接AC.
(1)当点P的坐标为(1,0)时,求△ABC的面积;
(2)当点P的坐标为(1,0)时,在y轴上是否存在一点Q,使A、O、Q三点为顶点的三角形△QAO为等腰三角形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)请你连接OA和OC.当点P的坐标为(t,0)时,△OAC的面积是否随t的值的变化而变化?请说明理由.
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【题目】抛物线经过点A(,0),B(,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
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