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【题目】如图,在ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABCAE于点M,经过B、M两点的⊙OBC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.

(1)判断AE与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)若BC=6,AC=4CE时,求⊙O的半径.

【答案】(1)AE与⊙O相切.理由见解析.(2)2.4

【解析】

(1)连接OM,则OM=OB,利用平行的判定和性质得到OM∥BC,∠AMO=∠AEB,再利用等腰三角形的性质和切线的判定即可得证;

(2)设⊙O的半径为r,AO=12﹣r,利用等腰三角形的性质和解直角三角形的有关知识得到AB=12,易证△AOM∽△ABE,根据相似三角形的性质即可求解.

解:(1)AE⊙O相切.

理由如下:

连接OM,则OM=OB,

∴∠OMB=∠OBM,

∵BM平分∠ABC,

∴∠OBM=∠EBM,

∴∠OMB=∠EBM,

∴OM∥BC,

∴∠AMO=∠AEB,

△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,

∴AE⊥BC,

∴∠AEB=90°,

∴∠AMO=90°,

∴OM⊥AE,

∴AE⊙O相切;

(2)在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,

∴BE=BC,∠ABC=∠C,

∵BC=6,cosC=

∴BE=3,cos∠ABC=

△ABE中,∠AEB=90°,

∴AB===12,

⊙O的半径为r,则AO=12﹣r,

∵OM∥BC,

∴△AOM∽△ABE,

=

解得:r=2.4,

∴⊙O的半径为2.4.

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