Question

【题目】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB= ，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．

（1）当CM=2时，求线段CD的长；
（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，作OH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵AB=10，sinB= ，

∴AC=6，BC=8，

∵AO=OB，OH∥AC，

∴CH=HB=4，OH=3，

∵CM=2，

∴CM=HM=2，

在△DCM和△OHM中，

，

∴△DCM≌△OHM，

∴CD=OH=3．

（2）

解：解：如图2中，作NG⊥OB于G．

∵∠HOB=∠A=∠MON，

∴∠1=∠2，

在Rt△BNG中，BN=y，sibB= ，

∴GN= y，BG= y，

∵tan∠1=tan∠2，

∴ = ，

∴ = ，

∴y= ，（0＜x＜4）

（3）

①如图3中，当OM=ON时，OH垂直平分MN，

∴BN=CM=x，

∵△OMH≌△ONG，

∴NG=HM=4﹣x，

∵sinB= ，

∴ = ，

∴CM=x= ．

②如图4中，当OM=MN时．连接CO，

∵OA=OB，OM=MN，

∴CO=OA=OB，

∴∠MON=∠MNO=∠A=∠OCA，

∴△MON∽△OAC，

∴∠AOC=∠OMN，

∴∠BOC=∠CMO，∵∠B=∠B，

∴△CMO∽△COB，

∴ = ，

∴8x=52，

∴x= ．

综上所述，△OMN是以OM为腰的等腰三角形时，线段CM的长为 或

【解析】（1）如图1中，作OH⊥BC于H．只要证明△DCM≌△OHM，即可得出CD=OH=3．（2）如图2中，作NG⊥OB于G．首先证明∠1=∠2，根据tan∠1=tan∠2，可得 = ，由此即可解决问题．（3）分两种情形讨论即可①如图3中，当OM=ON时，OH垂直平分MN，②如图4中，当OM=MN时，分别求解即可．