【题目】如图,已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.
(1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出此时点N的坐标;
(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.
【答案】
(1)
解:∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),
∴,
解得.
∴抛物线表达式:y=x2+x+4;
(2)
解:△ABC是直角三角形.
令y=0,则x2+x+4,
解得x1=8,x2=﹣2,
∴点B的坐标为(﹣2,0),
由已知可得,
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形.
(3)
解:∵A(0,4),C(8,0),
∴AC==,
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(﹣8,0),
②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8﹣,0)或(8+,0)
③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0),
综上,若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(﹣8,0)、(8﹣,0)、(3,0)、(8+,0).
(4)
解:设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,
∴MD∥OA,
∴△BMD∽△BAO,
∴=,
∵MN∥AC
∴=,
∴=,
∵OA=4,BC=10,BN=n+2
∴MD=(n+2),
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=BNOA﹣BNMD
=(n+2)×4﹣×(n+2)2
=(n﹣3)2+5,
∴当△AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).
【解析】(1)根据待定系数法即可求得;
(2)根据抛物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC10,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形.
(3)分别以A、C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标;
(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,根据三角形相似对应边成比例求得MD=(n+2),然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
得出关于n的二次函数,根据函数解析式求得即可.
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【题目】某宾馆准备购进一批换气扇,从电器商场了解到:一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元;三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元.
(1)求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元;
(2)若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共40台并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过点B的直线MN∥AC,D为BC边上一点,连接AD,作DE⊥AD交MN于点E,连接AE.
(1)如图①,当∠ABC=45°时,求证:AD=DE;
(2)如图②,当∠ABC=30°时,线段AD与DE有何数量关系?并请说明理由;
(3)当∠ABC=α时,请直接写出线段AD与DE的数量关系.(用含α的三角函数表示)
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【题目】一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字﹣1,﹣2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同.小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x;小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y.
(1)小红摸出标有数字3的小球的概率是___;
(2)请用列表法或画树状图的方法表示出由x,y确定的点P(x,y)所有可能的结果;
(3)若规定:点P(x,y)在第一象限或第三象限小红获胜;点P(x,y)在第二象限或第四象限则小颖获胜.请分别求出两人获胜的概率.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F.
(1)求证:EF与⊙O相切;
(2)若AB=6,AD=,求EF的长.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,AD=AP=2,AB=DP=2 ,E为CD的中点,点F在线段PB上.
(Ⅰ)求证:AD⊥PC;
(Ⅱ)当三棱锥B﹣EFC的体积等于四棱锥P﹣ABCD体积的 时,求 的值.
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【题目】如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=10,sinB= ,点O是AB的中点,∠DOE=∠A,当∠DOE以点O为旋转中心旋转时,OD交AC的延长线于点D,交边CB于点M,OE交线段BM于点N.
(1)当CM=2时,求线段CD的长;
(2)设CM=x,BN=y,试求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;
(3)如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形,请直接写出线段CM的长.
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