Question

【题目】如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）

（1）求此二次函数的解析式及顶点坐标．

（2）设点P是该抛物线上的动点，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，顶点坐标（﹣1，﹣4）；（2）P点坐标为（﹣4，5），（2，5）．

【解析】

（1）将点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；

（2）根据抛物线与坐标轴交点的求法求得点B的坐标，结合三角形的面积公式求得△ABC的面积＝6，进而求得△ABP的面积＝10，根据△ABP的面积可以计算出点P的纵坐标的值，然后再利用二次函数解析式计算出点P的横坐标即可．

解：（1）根据题意得：．

解得：b＝2，c＝﹣3，

∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，

∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4；

∴顶点坐标（﹣1，﹣4）；

（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则B（﹣3，0），A（1，0），

∴AB＝4

∵C（0，﹣3）

∴△ABC的面积＝×4×3＝6，

∵△ABP的面积等于△ABC面积的

∴△ABP的面积＝×6＝10，

∴4×|yp|＝10

∴|yp|＝5，

∴yp＝±5，

当yp＝5时 解方程x2+2x﹣3＝5得x1＝﹣4，x2＝2，此时P点坐标为（﹣4，5），（2，5）；

当yp＝﹣5时，方程x2+2x﹣3＝﹣5没有实数解，

∴P点坐标为（﹣4，5），（2，5）．