Question

15．如图，AC为⊙O的弦，CE⊥AC交⊙O于E，B为AC上的一点，BC=CE，EF⊥BE交⊙O于F，⊙O的直径为13，BE=5$\sqrt{2}$．
（1）求证：BE∥AF；
（2）求AB的长；
（3）求BF的长．

Answer 1

分析 （1）利用圆内接四边形的对角互补的性质推着∠AFE=90°，即AF⊥EF，由“同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得结论；
（2）如图，连接AE，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”得到AE是直径，即AE经过点O．利用在等腰直角△BCE中利用勾股定理求得5，然后在Rt△AEC中利用勾股定理可以求得AC=12，则易求AB的长度；
（3）作BH⊥AF于H，如图，则四边形BEFH为矩形，得到BH=EF，再由BE∥AF得到∠BAH=∠CBE=45°，则可判断△ABH为等腰直角三角形，于是BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，所以EF=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，然后在Rt△BEF中，利用勾股定理计算BF的长．

解答 （1）证明：∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，
∴∠AFE+∠ACE=180°，
∵CE⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴∠AFE=90°，即AF⊥EF．
又∵EF⊥BE，
∴BE∥AF；
（2）解：如图，连接AE，如图，
∵∠C=90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴AE=13，
在Rt△BEC中，∵BC=CE，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$BC，
∵BE=5$\sqrt{2}$，
∴BC=EC=5，
在Rt△AEC中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴AB=AC-BC=12-5=7；
（3）解：作BH⊥AF于H，如图，则四边形BEFH为矩形，
∴BH=EF，
∵△BCE为等腰直角三角形，
∴∠CBE=45°，
∵BE∥AF，
∴∠BAH=∠CBE=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∴EF=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，在Rt△BEF中，BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}+（\frac{7\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{298}}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．