Question

3．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，E为AC的中点，延长ED交⊙O于F．
（1）求证：∠BAO=∠ADE；
（2）若F为劣弧$\widehat{CB}$的中点，且EF=AC，若AD=2CD，求$\frac{AB}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）作直径AM，连结BM，如图，利用圆周角定理得∠BAM+∠M=90°，∠C=∠M，则∠BAM=∠DAC，再根据直角三角形斜边上的中线性质得AE=DE，则∠ADE=∠DAE，于是可得∠BAO=∠ADE；
（2）连结OF交BC于G，作EH⊥CD于H，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质得AE=DE=CE，再利用等腰三角形的性质有DH=CH，设DH=CH=x，则AD=2CD=4a，接着证明DE=DF，OF⊥BC，BG=CG，然后证明△DGF≌△DHE得到DG=DH=x，于是可表示出BG=CG=3a，BD=BG+DG=4a，然后根据等腰直角三角形的性质求解．

解答 （1）证明：作直径AM，连结BM，如图，
∵AM为直径，
∴∠ABM=90°，
∴∠BAM+∠M=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠C=∠M，
∴∠BAM=∠DAC，
∵E为AC的中点，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠DAE，
∴∠BAO=∠ADE；
（2）解：连结OF交BC于G，作EH⊥CD于H，如图，
∵E为AC的中点，
∴AE=DE=CE，
∴DH=CH，
设DH=CH=x，则AD=2CD=4a，
∵EF=AC，
∴EF=2DE，
∴DE=DF，
∵F为劣弧$\widehat{CB}$的中点，
∴OF⊥BC，BG=CG，
在△DGF和△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGF=∠DHE}\\{∠FDG=∠HDE}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△DGF≌△DHE，
∴DG=DH=x，
∴CG=DG+CD=3a，
∴BG=CG=3a，
∴BD=BG+DG=4a，
在Rt△ABD中，AB=$\sqrt{2}$BD，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和全等三角形的判定与性质．