Question

10．已知矩形ABCD．如图1，以AD、AB为边向内作等边△ADE和等边△ABF，延长DF、BE相交于点G．
（1）求证：DF=BE．
（2）猜想∠EGF的度数，并说明理由．
（3）如图2，当点G位于对角线AC上时，
①求证：∠DGA=∠BGA；
②直接写出GE与BE的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可证明△ADF≌△AEB，可证明DF=BE；
（2）由（1）证明△ADF≌△AEB，结合三角形外角的性质可得到∠DEA+∠AEB=∠GDE+∠EGF，整理可得到∠EGF=120°；
（3）①过点A作AM⊥DG，AN⊥BG于点M、N，可证得△AMF≌△ABN，可得AM=AN，根据角平分线的判定可知∠DGA=∠BGA；
②连接EF，可证得EF=BE，在Rt△GEH中，利用三角函数的定义可求得sin60°=$\frac{EH}{GE}$，可证得结论．

解答 （1）证明：∵△ADE与△ABF均为等边三角形，
∴AD=AE，AF=AB，且∠DAF+∠FAE=∠BAE+∠FAE=60°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△ADF和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAF=∠BAE}\\{AF=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△AEB（SAS），
∴DF=BE；
（2）解：猜想∠EGF=120°．
理由如下：∵△ADF≌△AEB，
∴∠AEB=∠ADF=∠GDE+∠ADE=∠GDE+60°，
又∵∠DEB=∠GDE+∠EGF，
即∠DEA+∠AEB=∠GDE+∠EGF，
∴60°+∠GDE+60°=∠GDE+∠EGF，
∴∠EGF=120°；
（3）①证明：如图1，过点A作AM⊥DG，AN⊥BG于点M、N，

∵△ADF≌△ABE（已证），
∴∠DFA=∠EBA，AF=AB，
且∠FMA=∠BNA=90°，
在△AMF和△ABN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFA=∠EBN}\\{∠FMA=∠BNA}\\{AF=AB}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△ABN（AAS），
∴AM=AN，
∵∠FMA=∠BNA=90°，
∴∠DGA=∠BGA；
②解：BE=$\sqrt{3}$GE．
理由如下：
如图2，连接EF，

由题意可知AE垂直平分BF，所以EF=BE，
又∵∠EGF=120°，∠DGA=∠BGA（已证）
∴∠BGA=60°，
由条件又可证EF⊥AC于点H，可得EH=FH，
在Rt△GEH中，sin∠AGE=$\frac{EH}{GE}$，即sin60°=$\frac{EH}{GE}$，
∴2EH=$\sqrt{3}$GE，即BE=$\sqrt{3}$GE．

点评 本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定和三角函数的定义等知识点的综合应用．在（1）中求得∠DAF=∠BAE，证明三角形全等是解题的关键；在（2）中利用全等三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠DEA+∠AEB=∠GDE+∠EGF是解题的关键；在（3）①中利用三角形全等证明AM=AN是解题的关键，在②中利用三角函数的定义找到EH和GE的关系是解题的关键．本题知识点较多，综合性较强，难度较大．