Question

18．如图，己知抛物线与x轴分别交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC上，且S_△PAC=$\frac{1}{2}$S_△PAB，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把点A、B、C的坐标代入解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，求解即可得到抛物线解析式；
（2）求得直线BC的解析式，分点P在线段BC上，点P在BC的延长线上，进一步利用S_△PAC=$\frac{1}{2}$S_△PAB，得点P的坐标即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）设直线BC的解析式y=kx+b，
代入B（3，0），C（0，3）得y=-x+3，
当点P在线段BC上，设点P坐标为（x，-x+3）
∵S_△PAC=$\frac{1}{2}$S_△PAB，
∴S_△PAB=$\frac{2}{3}$S_△ABC，
即$\frac{1}{2}$×4×（-x+3）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×3，
解得：x=2，
则点P坐标为（2，1）
当点P在BC的延长线上，设点P坐标为（x，-x+3）
∵S_△PAC=$\frac{1}{2}$S_△PAB，
∴S_△PAB=2S_△ABC，
即$\frac{1}{2}$×4×（-x+3）=2×$\frac{1}{2}$×4×3，
解得：x=-3，
则点P坐标为（-3，6），
综上所知点P坐标为（2，1）或（-3，6）．

点评 此题主要考查了二次函数与x轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，能够将三角形的面积比转换为线段的比例关系是解决问题的关键．