【题目】在一节数学课上,老师布置了一个任务:
已知,如图1,在中,,用尺规作图作矩形.
同学们开动脑筋,想出了很多办法,其中小亮作了图2,他向同学们分享了作法:
①分别以点、为圆心,大于长为半径画弧,两弧分别交于点、,连接交于点;
②作射线,在上取点,使;
③连接,.
则四边形就是所求作的矩形.
老师说:“小亮的作法正确.”
写出小亮的作图依据.
【答案】到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;对角线互相平分且相等是矩形.
【解析】
根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可判断EF垂直平分AC,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BO=OA=OC,则由OD=OB得到BO=OA=OC=OD,从而根据矩形的判定方法可判断四边形ABCD就是所求作的矩形.
由作法得EF垂直平分AC,则OA=OC,
则BO为Rt△ABC斜边上的中线,
所以BO=OA=OC,
因为OD=OB,
所以BO=OA=OC=OD,
所以四边形ABCD为矩形.
所以小亮的作图依据为:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;对角线互相平分且相等是矩形.
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【题目】如图1,将一副三角板的直角重合放置,其中∠A=30°,∠CDE=45°.
(1)如图1,求∠EFB的度数;
(2)若三角板ACB的位置保持不动,将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转.
①当旋转至如图2所示位置时,恰好CD∥AB,则∠ECB的度数为 ;
②若将三角板CDE继续绕点C旋转,直至回到图1位置.在这一过程中,是否还会存在△CDE其中一边与AB平行?如果存在,请你画出示意图,并直接写出相应的∠ECB的大小;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图①,已知直线l1、l2,直线l3和直线l1、l2交于点C和D,在直线l3上有动点P(点P与点C、D不重合),点A在直线l1上,点B在直线l2上.
(1)如果点P在C、D之间运动时,且满足∠1+∠3=∠2,请写出l1与l2之间的位置关系 ;
(2)如图②如果l1∥l2,点P在直线l1的上方运动时,试猜想∠1+∠2与∠3之间关系并给予证明;
(3)如果l1∥l2,点P在直线l2的下方运动时,请直接写出∠PAC、∠PBD、∠APB之间的关系.
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【题目】(本小题满分8分)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求.商家又用28800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元.
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?
(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%(不考虑其它因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元?
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【题目】如图1,方格图中每个小正方形的边长为1,点A、B、C都是格点.
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1;
(2)直接写出AA1的长度;
(3)如图2,A、C是直线MN同侧固定的点,D是直线MN上的一个动点,在直线MN上画出点D,使AD+DC最小.(保留作图痕迹)
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【题目】在直线l上依次摆放着4023个正方形,已知斜放着放置的2011个正方形的面积分别是1、2、3、…、2011,正放置的2012个正方形的面积依次是S1、S2、S3、…S2012,请猜想:S1+S2+S3+S4+…S2012=_____.
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【题目】如图,把△ACE绕点C逆时针旋转60°后与△BCD重合,BD、AE.交于点 M,连接AB、DE.
(1)求证:△ABC和△CDE为等边三角形;
(2)求∠AMB的度数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为原点,直线y=2x﹣1,与y轴交于点A,与直线y=﹣x交于点B,点B关于原点的对称点为点C.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q,当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标.
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