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【题目】在一节数学课上,老师布置了一个任务:

已知,如图1,在中,,用尺规作图作矩形

同学们开动脑筋,想出了很多办法,其中小亮作了图2,他向同学们分享了作法:

①分别以点为圆心,大于长为半径画弧,两弧分别交于点,连接于点

②作射线,在上取点,使

③连接

则四边形就是所求作的矩形.

老师说:“小亮的作法正确.”

写出小亮的作图依据.

【答案】到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;对角线互相平分且相等是矩形.

【解析】

根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可判断EF垂直平分AC,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BOOAOC,则由ODOB得到BOOAOCOD,从而根据矩形的判定方法可判断四边形ABCD就是所求作的矩形.

由作法得EF垂直平分AC,则OAOC

BORtABC斜边上的中线,

所以BOOAOC

因为ODOB

所以BOOAOCOD

所以四边形ABCD为矩形.

所以小亮的作图依据为:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;对角线互相平分且相等是矩形.

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2)若三角板ACB的位置保持不动,将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转.

①当旋转至如图2所示位置时,恰好CDAB,则∠ECB的度数为   

②若将三角板CDE继续绕点C旋转,直至回到图1位置.在这一过程中,是否还会存在△CDE其中一边与AB平行?如果存在,请你画出示意图,并直接写出相应的∠ECB的大小;如果不存在,请说明理由.

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1)如果点PCD之间运动时,且满足∠1+3=∠2,请写出l1l2之间的位置关系   

2)如图②如果l1l2,点P在直线l1的上方运动时,试猜想∠1+2与∠3之间关系并给予证明;

3)如果l1l2,点P在直线l2的下方运动时,请直接写出∠PAC、∠PBD、∠APB之间的关系.

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