【题目】如图①,已知直线l1、l2,直线l3和直线l1、l2交于点C和D,在直线l3上有动点P(点P与点C、D不重合),点A在直线l1上,点B在直线l2上.
(1)如果点P在C、D之间运动时,且满足∠1+∠3=∠2,请写出l1与l2之间的位置关系 ;
(2)如图②如果l1∥l2,点P在直线l1的上方运动时,试猜想∠1+∠2与∠3之间关系并给予证明;
(3)如果l1∥l2,点P在直线l2的下方运动时,请直接写出∠PAC、∠PBD、∠APB之间的关系.
【答案】(1)l1∥l2;(2)∠1+∠2=∠3;理由见解析;(3)∠APB+∠PBD=∠PAC.
【解析】
(1)延长BP交AC于E,则∠2为△APE的外角,所以∠2=∠1+∠AEP,又因为∠2=∠1+∠3,等量代换∠3=∠AEP,根据内错角相等两直线平行,可知l1∥l2,(2)同(1)利用三角形的外角性质及平行线的性质可得∠1+∠2=∠3,(3)过点P作PF∥l1,根据平行于同一条直线的两直线平行,可得PF∥l2,再由平行线的性质进而可得∠APB+∠PBD=∠PAC.
证明:(1)l1∥l2.理由如下,
如图①,延长BP交AC于E,
∵∠2=∠1+∠3,∠2=∠1+∠AEP,
∴∠3=∠AEP,
∴l1∥l2,
故答案为:l1∥l2.
(2)如图②所示,当点P在线段DC的延长线上时,∠1+∠2=∠3,
理由是:∵l1∥l2,
∴∠CEP=∠3
∵∠CEP=∠1+∠2,
∴∠1+∠2=∠3.
(3)如图③所示,当点P在直线l2的下方运动时,∠APB+∠PBD=∠PAC.
理由:过点P作PF∥l1,
∠FPA=∠1.
∵l1∥l2,
∴PF∥l2,
∴∠FPB=∠3,
∴∠FPA=∠2+∠FPB=∠2+∠3.
即∠APB+∠PBD=∠PAC.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0),B(0,b),C(-a,0),且+b2-4b+4=0.
(1)求证:∠ABC=90°;
(2)∠ABO的平分线交x轴于点D,求D点的坐标.
(3)如图,在线段AB上有两动点M、N满足∠MON=45°,求证:BM2+AN2=MN2.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.
(1)求∠CDE的度数;
(2)求证:DF是⊙O的切线;
(3)若AC=2DE,求tan∠ABD的值.
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【题目】如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点,连接AE、CF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若AB=6,求菱形的面积.
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【题目】如图,矩形OABC的顶点A、C分别在的正半轴上,点B的坐标为(3,4)一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E,并且满足OD= BE.点M是线段DE上的一个动点.
(1)求b的值;
(2)连结OM,若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3,求点M的坐标;
(3)设点N是轴上方平面内的一点,以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形,求点N的坐标.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下述结论:①BD平分∠ABC;②D是AC的中点;③AD=BD=BC;④△BDC的周长等于AB+BC.其中正确结论的个数有 .(只填序号)
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【题目】在一节数学课上,老师布置了一个任务:
已知,如图1,在中,,用尺规作图作矩形.
同学们开动脑筋,想出了很多办法,其中小亮作了图2,他向同学们分享了作法:
①分别以点、为圆心,大于长为半径画弧,两弧分别交于点、,连接交于点;
②作射线,在上取点,使;
③连接,.
则四边形就是所求作的矩形.
老师说:“小亮的作法正确.”
写出小亮的作图依据.
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【题目】如图,已知四边形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC =10cm,
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t<2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;
(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止.设点P运动了t秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为3,E,F 分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:EF=FM;
(2)当AE=1时,求EF的长.
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