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【题目】如图①,已知直线l1l2,直线l3和直线l1l2交于点CD,在直线l3上有动点P(点P与点CD不重合),点A在直线l1上,点B在直线l2上.

1)如果点PCD之间运动时,且满足∠1+3=∠2,请写出l1l2之间的位置关系   

2)如图②如果l1l2,点P在直线l1的上方运动时,试猜想∠1+2与∠3之间关系并给予证明;

3)如果l1l2,点P在直线l2的下方运动时,请直接写出∠PAC、∠PBD、∠APB之间的关系.

【答案】1l1l2;(2)∠1+2=∠3;理由见解析;(3)∠APB+PBD=∠PAC

【解析】

1)延长BPACE,则∠2APE的外角,所以∠2=∠1+AEP,又因为∠2=∠1+3,等量代换∠3=∠AEP,根据内错角相等两直线平行,可知l1l2,(2)同(1)利用三角形的外角性质及平行线的性质可得∠1+2=∠3,(3)过点PPFl1,根据平行于同一条直线的两直线平行,可得PFl2,再由平行线的性质进而可得∠APB+PBD=∠PAC

证明:(1l1l2.理由如下,

如图①,延长BPACE

∵∠2=∠1+3,∠2=∠1+AEP

∴∠3=∠AEP

l1l2

故答案为:l1l2.

2)如图②所示,当点P在线段DC的延长线上时,∠1+2=∠3

理由是:∵l1l2

∴∠CEP=∠3

∵∠CEP=∠1+2

∴∠1+2=∠3.

3)如图③所示,当点P在直线l2的下方运动时,∠APB+PBD=∠PAC

理由:过点PPFl1

FPA=∠1

l1l2

PFl2

∴∠FPB=∠3

∴∠FPA=∠2+FPB=∠2+3.

即∠APB+PBD=∠PAC

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