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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a0)B(0b)C-a0),且+b2-4b+4=0

(1)求证:∠ABC=90°;

(2)ABO的平分线交x轴于点D,求D点的坐标.

(3)如图,在线段AB上有两动点MN满足∠MON=45°,求证:BM2+AN2=MN2

【答案】(1)证明见解析(2)3)证明见解析

【解析】

1)根据非负数的性质求出ab的值,根据直角三角形的判定定理证明;
2)过DDEABE,由于BD是∠ABO的角平分线,根据角平分线的性质知DO=DE,即可证得OD=DE,根据三角形的面积公式计算即可;
3)把OBM绕点O顺时针旋转90°,则旋转后B点与A点重合,点M对应点E,连结NE,由于∠MON=45°,那么∠EON=MON=45°,即可证得MON≌△EONMN=NE;同理可通过证MON≌△EON,来得到BM=AN,∠OAE=OBM=45°,因此在RtNAE中,根据勾股定理即可证明.

1)证明:由

ABC的坐标是A20),B02),C(-20

AB=BC=AC=4

AC2=AB2+BC2

∴∠ABC=90°

(2)过点DDEABE

BD平分∠ABO

OD=DE

OD=x

解得,

D点的坐标是

3)证明:把OBM绕点O顺时针旋转90°,则旋转后B点与A点重合,点M对应点E(如图),连结NE

∴∠NAE=90°

又∠MON=45°

∴∠NOE=45°

MONEON中,

∴△OMN≌△OENSAS

MN=NE

MOBEOA中,

MOBEOA

BM=AE

∴在RtNAE

NE2=AN2+AE2

MN2=AN2+BM2

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3)如果l1l2,点P在直线l2的下方运动时,请直接写出∠PAC、∠PBD、∠APB之间的关系.

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