【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0),B(0,b),C(-a,0),且+b2-4b+4=0.
(1)求证:∠ABC=90°;
(2)∠ABO的平分线交x轴于点D,求D点的坐标.
(3)如图,在线段AB上有两动点M、N满足∠MON=45°,求证:BM2+AN2=MN2.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析
【解析】
(1)根据非负数的性质求出a、b的值,根据直角三角形的判定定理证明;
(2)过D作DE⊥AB于E,由于BD是∠ABO的角平分线,根据角平分线的性质知DO=DE,即可证得OD=DE,根据三角形的面积公式计算即可;
(3)把△OBM绕点O顺时针旋转90°,则旋转后B点与A点重合,点M对应点E,连结NE,由于∠MON=45°,那么∠EON=∠MON=45°,即可证得△MON≌△EON,MN=NE;同理可通过证△MON≌△EON,来得到BM=AN,∠OAE=∠OBM=45°,因此在Rt△NAE中,根据勾股定理即可证明.
(1)证明:由得
,
∴
∴
∴A、B、C的坐标是A(2,0),B(0,2),C(-2,0)
∴AB=,BC=,AC=4
∴AC2=AB2+BC2
∴∠ABC=90°
(2)过点D作DE⊥AB于E,
∵BD平分∠ABO,
∴OD=DE,
设OD=x,
∵ 解得,,
∴D点的坐标是
(3)证明:把△OBM绕点O顺时针旋转90°,则旋转后B点与A点重合,点M对应点E(如图),连结NE
∴∠NAE=90°
又∠MON=45°,
∴∠NOE=45°
在△MON和△EON中,
∴△OMN≌△OEN(SAS)
∴MN=NE
在△MOB和△EOA中,
∴△MOB≌△EOA,
BM=AE
∴在Rt△NAE中
NE2=AN2+AE2
∴MN2=AN2+BM2
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【题目】已知在平面直角坐标系中,直线y=kx+5与x轴交于点A,与抛物线y=ax2+bx交于B,C两点,且点B的坐标为(1,7),点C的横坐标为5.
(1)直接写出k的值和点C的坐标;
(2)将此抛物线沿对称轴向下平移n个单位,当抛物线与直线AB只有一个公共点时,求n的值;
(3)在抛物线上有点P,满足直线AB,AP关于x轴对称,求点P的坐标..
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【题目】有A、B两种型号台灯,若购买2台A型台灯和6台B型台灯共需610元.若购买6台A型台灯和2台B型台灯共需470元.
(1)求A、B两种型号台灯每台分别多少元?
(2)采购员小红想采购A、B两种型号台灯共30台,且总费用不超过2200元,则最多能采购B型台灯多少台?
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【题目】某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样做的:
①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A;
②沿河岸直走20m有一树C,继续前行20m到达D处;
③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走;
④测得DE的长为5米.
求:(1)河的宽度是多少米?
(2)请你证明他们做法的正确性.
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【题目】如图.过点A1(1,0)作x轴的垂线,交直线y=2x于点B1;点A2与点O关于直线A1B1对称,过点A2作x轴的垂线,交直线y=2x于点B2;点A3与点O关于直线A2B2对称.过点A3作x轴的垂线,交直线y=2x于点B3;…按此规律作下去.则点A3的坐标为 ,点Bn的坐标为 .
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【题目】如图,在Rt△AOB中,∠ABO=90°,OB=4,AB=8,且反比例函数在第一象限内的图象分别交OA、AB于点C和点D,连结OD,若S△BOD=4,请回答下列问题:
(1)求反比例函数解析式;
(2)求C点坐标.
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【题目】如图①,已知直线l1、l2,直线l3和直线l1、l2交于点C和D,在直线l3上有动点P(点P与点C、D不重合),点A在直线l1上,点B在直线l2上.
(1)如果点P在C、D之间运动时,且满足∠1+∠3=∠2,请写出l1与l2之间的位置关系 ;
(2)如图②如果l1∥l2,点P在直线l1的上方运动时,试猜想∠1+∠2与∠3之间关系并给予证明;
(3)如果l1∥l2,点P在直线l2的下方运动时,请直接写出∠PAC、∠PBD、∠APB之间的关系.
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