Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣8，0），点B的坐标为（﹣8，6），直线BC∥x轴，交y轴于点C，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．

（1）四边形OABC的形状是 ， 当α=90°时， 的值是 ．
（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求 的值；
②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在BC的延长线上时，求△OPB′的面积．

（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP= BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）矩形；
（2）

解：①图2，

∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，

∴△COP∽△A′OB′．

∴ ，即 ，

∴CP= ，BP=BC﹣CP= ．

同理△B′CQ∽△B′C′O，

∴ ，

∴

∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．

∴ ，

∴ ；

②图3，在△OCP和△B′A′P中， ，

∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．

∴OP=B′P．

设B′P=x，

在Rt△OCP中，（8﹣x）2+62=x2，

解得x= ．

∴S△OPB′= × ×6=

（3）

解：存在这样的点P和点Q，使BP= BQ．

点P的坐标是P1（﹣9﹣ ，6），P2（﹣ ，6）．

理由：

过点Q作QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，

∵S△POQ= PQOC，S△POQ= OPQH，

∴PQ=OP．

设BP=x，

∵BP= BQ，

∴BQ=2x，

如图4，当点P在点B左侧时，

OP=PQ=BQ+BP=3x，

在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）/span>2，

解得x1=1+ ，x2=1﹣ （不符实际，舍去）．

∴PC=BC+BP=9+ ，

∴P（﹣9﹣ ，6）．

如图5，当点P在点B右侧时，

∴OP=PQ=BQ﹣BP=x，PC=8﹣x．

在Rt△PCO中，（8﹣x）2+62=x2，解得x= ．

∴PC=BC﹣BP=8﹣ = ，

∴P（﹣ ，6），

综上可知，存在点P（﹣9﹣ ，6）或（﹣ ，6），使BP= BQ．

【解析】解：（1）图1，四边形OA′B′C′的形状是矩形；

∵点A的坐标为（﹣8，0），点B（﹣8，6），
∴AB∥OC，
∵BC∥x轴，
∴四边形OABC是平行四边形．
又OC⊥OA，
∴平行四边形OABC的形状是矩形；
当α=90°时，P与C重合，如图1，
BP=8，BQ=BP+OC=8+6=14，
∴ ，
即是矩形的长与宽的比，则 ．
所以答案是矩形， ；