练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

    在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
    （1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x．
    ①试用含x的代数式表示BF的长；
    ②试用含x的代数式表示△BEF的面积；
    （2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
    （3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

    解：（1）由已知条件得：梯形周长为24，高4，面积为28．
    BF=24÷2-x=12-x ，
    过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，
    ∵FG∥AK，
    ∴△BGF∽△BKA，
    ∴=，
    ∴FG=，
    ∴S△BEF=××x=（7≤x≤10）；

    （2）存在．
    由（1）得=14，，
    解得x1=7，x2=5（不合题意舍去），
    ∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，
    此时BE=7．

    （3）不存在，过点F作FM⊥BC于M，过点A作AH⊥BC于H，
    假设存在，第一种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=1：2，
    （BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2，
    梯形ABCD周长的三分之一为=8，面积的三分之一为．因为BE=x，
    所以BF=（8-x）
    ∵FM∥AH，
    ∴△FBM∽△ABH，
    ∴BF：AB=FM：AH，
    ∴=，
    ∴FM=，
    ∴△BEF的面积=-x2+x，
    当梯形ABCD的面积=时，
    ∴=-x2+x，
    整理方程得：-3x2+24x-70=0，
    △=576-840＜0
    ∴不存在这样的实数x．
    即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
    同时分成1：2的两部分．
    第二种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1，
    梯形ABCD周长的三分之一为：=8，面积的三分之一为：．因为BE=x，
    所以BF=（8-x）
    ∵FM∥AH，
    ∴△FBM∽△ABH，
    ∴BF：AB=FM：AH，
    ∴=，
    ∴FM=，
    ∴△BEF的面积=-x2+x，
    当 梯形ABCD的面积=时，
    ∴×2=-x2+x，
    整理方程得：3x2-24x+140=0，
    △＜0
    ∴不存在这样的实数x．
    即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积，同时分成1：2的两部分．
    分析：（1）根据过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，得出BF与FG的长即可求出；
    （2）利用（1）中所求，解一元二次方程即可求出．
    （3）仍然按照（1）和（2）的步骤和方法去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1：2就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式△，由于△＜0，故不存在实数根．
    点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及根的判别式和解一元二次方程等知识，根据已知得出BF与FG的长是解决问题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    17、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，AB=4cm，∠B=60°，则下底BC的长为
    7
    cm．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    25、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上任意一点，且
    PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别是E、F、G，请你探索PE、PF、BG的长度之间的关系，并证明你的结论．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    24、已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E为边BC上一点，且AE=DC．
    （1）求证：四边形AECD是平行四边形；
    （2）当∠B=2∠DCA时，求证：四边形AECD是菱形．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，MB=MC吗？为什么？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，垂足为O，过D作DE∥AC交BC的延长线于E．
    （1）求证：四边形ACED是平行四边形；
    （2）若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面积．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案