Question

【题目】有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．

（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数．

（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．

Answer 1

【答案】（1）BD＝MF，BD⊥MF；（2）β的度数为60°或15°；（3）平移的距离是（3﹣）cm．

【解析】

（1）由旋转的性质得到BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．

（2）分两种情形讨论①当AK=FK时，②当AF=FK时，根据旋转的性质得出结论．

（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例，即可得到A2A的大小．

（1）结论：BD=MF，BD⊥MF．理由：

如图1，延长FM交BD于点N．

由题意得：△BAD≌△MAF，∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．

又∵∠DMN=∠AMF，∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．

（2）如图2．

①当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，即β=60°；

②当AF=FK时，∠FAK（180°﹣∠F）=75°，∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，即β=15°；

综上所述：β的度数为60°或15°；

（3）如图3．

由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x．在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=4，∠F=∠ADB=30°，∴A2M2=2，A2F2=2，∴AF2=2x．

∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，∴AP=AF2tan30°=2x，∴PD=AD﹣AP=22x．

∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．

∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB，∴，∴，解得：x=，即A2A=，∴平移的距离是（）cm．