Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1，BC=4，AB=6，若点P在AB上，且△PAD与△PBC相似，则这样的P点的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：设AP=x，则PB=AB-AP=6-x，利用平行线的性质得∠B=90°，然后分类讨论：当

AD

BC

=

AP

BP

时，△ADP∽△BCP，即

1

4

=

x

6-x

；当

AD

BP

=

AP

BC

时，△ADP∽△BBC，即

1

6-x

=

x

4

，再分别解方程求出x的值，从而可确定P点的个数．

解答：解：设AP=x，则PB=AB-AP=6-x，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
当

AD

BC

=

AP

BP

时，△ADP∽△BCP，即

1

4

=

x

6-x

，解得x=

6

5

，即AP=

6

5

；
当

AD

BP

=

AP

BC

时，△ADP∽△BBC，即

1

6-x

=

x

4

，解得x=3+

5

或x=3-

5

，即AP=3+

5

或AP=3-

5

，
综上所述，满足条件的P点有三个．
故选C．

点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了分类讨论思想的应用．