Question

【题目】已知ABC在平面直角坐标系内，满足：点A在y轴正半轴上移动，点B在x轴负半轴上移动，点C为y轴右侧一动点．

点A0,a和点Bb,0坐标恰好满足：，直接写出a,b的值．

⑵如图①，当点C在第四象限时，若AM、AO将BAC三等分，BM、BO将ABC三等分，在A、B、C的运动过程中，试求出C和M的关系．

⑶探究：

（i）如图②，当点C在第四象限时，若AM平分CAO,BM平分CBO,在A、B、C的运动过程中，C和M是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．

（ii）如图③，当点C在第一象限时，且在（i）中的条件不变的前提下，C和M又有何数量关系？证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1)a=-2,b=3; (2) ∠M-∠C=90°（或∠M+∠C=180°，即∠M与∠C互补.）；（3）（i）2∠M-∠C=90°； （ii）2∠M-∠C=90°.

【解析】

（1）根据非负数的性质得到关于a,b的二元一次方程组，解方程组即可；

（2）根据三等分线的性质可得出∠CAB=3∠MAB,∠CBA=3∠MBA，∠OAB=2∠MAB,∠OBA=2∠MBA.根据三角形的内角和等于180°，可求出∠OAB+∠OBA=90°，从而得出∠MAB+∠MBA=45°，∠CAB+∠CBA=135°，再次根据三角形的内角和等于180°分别求出∠M=135°，∠C=45°，从而得出∠M-∠C=90°.

（3）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可得出结论2∠M-∠C=90°.

解：（1）∵

∴,解得：

即a,b的值分别为2，-3.

（2）如图1.∠M-∠C=90°.理由如下：

∵AM、AO将BAC三等分，

∴∠CAB=3∠MAB,∠MAB=∠OAB.

∵BM、BO将ABC三等分，

∴∠CBA=3∠MBA,∠MBA=∠OBA.

∵∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠MAB+∠MBA=90°=45°，

∵∠MAB+∠MBA+∠M=180°，

∴∠M=135°.

∵∠MAB+∠MBA=45°，

∴∠CBA+∠CAB=3（∠MAB+∠MBA）=345°=135°，

∵∠CBA+∠CAB+∠C=180°.

∴∠C=45°.

∴∠M-∠C=90°.（或∠M+∠C=180°，即∠M与∠C互补.）

（3）（i）如图2.∵AM平分CAO,

∴∠CAO=2∠MAO.

∵BM平分CBO,

∴CBO=2MBO.

∴∠CAO+CBO=2∠MAO+2MBO=2(∠MAO+MBO)

∵∠C+∠CAO+∠OAB+∠OBA+∠CBO=180°，∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠C+∠CAO+∠CBO=180°-90°=90°.

∴∠C+2(∠MAO+MBO)= 90°.

∵∠M+∠MAO+∠OAB+∠OBA+∠MBO=180°，

∴∠M+∠MAO+∠MBO=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-90°=90°.

∴∠MAO+∠MBO=90°-∠M

∵∠C+2(∠MAO+MBO)= 90°，

∴∠C+2(90°-∠M) = 90°.

即2∠M-∠C=90°.

（ii）如图3. ∵AM平分CAO,

∴∠CAO=2∠MAO.

∵BM平分CBO,

∴CBO=2MBO.

∴∠CAO-CBO=2(∠MAO-MBO)

∵∠C+∠CAO+∠0AB+∠OBA-∠CBO=180°，且∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠C+∠CAO-∠CBO=90°.

∴∠C+2(∠MAO-MBO)= =90°.

∵∠M+∠MAO+∠0AB+∠OBA-∠MBO=180°,

∴∠M+∠MAO-∠MBO=90°,

∴∠MAO-∠MBO=90°-∠M.

∴∠C+2(90°-∠M)= 90°,

即2∠M-∠C=90°.