Question

如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点A且和BC相切于点D，和AB、AC分别交于点E，F，如果BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为

1. A.
   a
2. B.
   a
3. C.
   b
4. D.
   b

Answer 1

C
分析：如图，连接DE，由于CB是圆的切线，所以∠BDE=∠BAD，而∠DEF=∠DAC=∠BAD，由此得到∠BDE=∠DEF，接着得到EF∥CB，利用平行线分线段成比例得到AB：AC=AE：AF，而根据AD是△ABC的角平分线可以得到AB：AC=BD：DC，推出AE：AF=BD：DC，已知BD=AE，可推出AF=CD，再利用切割线定理知道CD²=CF•CA，而CA=CF+AF=CF+CD，由此得到关于AF的一元二次方程，解方程即可求出AF的长度．
解答：解：如图，连接DE，
∵CB是圆的切线，
∴∠BDE=∠BAD，
而∠DEF=∠DAC=∠BAD，
∴∠BDE=∠DEF，
∴EF∥CB，
∴AB：AC=AE：AF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AB：AC=BD：DC，
∴AE：AF=BD：DC，
而BD=AE，
∴AF=CD，
又∵BC相切于点D，
∴CD²=CF•CA，
而CA=CF+AF=CF+CD，
∴AF²=CF（CF+AF），
而CF=b，
∴AF²=b²+AF×b，
∴AF²-AF×b-b²=0，
∴AF=（负值舍去）．
故选C．
点评：此题比较复杂，把平行线分线段成比例放在圆的背景中，首先利用切线的性质来构造平行线，再利用平行线分线段成比例解决问题．