如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+（m+1）x+3m与直线y=-x+3交于A、C两点；点P从原点O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，过P作x轴的垂线，交抛物线于D，交AC于E，设点P运动的时间为x（秒），四边形AOCD的面积为S．
（1）求点A、C的坐标，并求此抛物线的解析式；
（2）求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）探究：是否存在点P，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）根据一次函数的解析式y=-x+3分别令x=0，则y=3；
令y=0则x=3，
故A（0，3），C（3，0），
把A（0，3）代入抛物线的解析式
得3m=3，m=1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵m=1
∴y=-x²+2x+3，
∴AO=3，
点D（x，-x²+2x+3），连接OD，
∵OC=3，
∴S=S_△AOD+S_△DOC= $\text{[math]}$ ×3x+ $\text{[math]}$ ×（-x²+2x+3）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
∴S与x的函数关系式S=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ （0＜x＜3），
当x=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 符合（0＜x＜3），
S_最大值= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

（3）∵OA=OC=3，
∴△AOC为等腰Rt△，
∴∠ECP=45°，
∴EP=PC=3-x，
假设存在点P，使AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分，分两种情况讨论：
（ⅰ）当△CDE与△CEP的面积之比为2：1时，DE=2EP，
∴DP=3EP，
即-x²+2x+3=3（-x+3）
整理得：x²-5x+6=0，
解得；x₁=2x₂=3（不合题意，舍去），
此时点P的坐标是（2，0）；
（ⅱ）当△CEP与△CDE的面积之比为2：1时，DE= $\text{[math]}$ EP，
∴DP= $\text{[math]}$ EP，
即-x²+2x+3= $\text{[math]}$ （-x+3），
整理得：2x²-7x+3=0，
解得：x₃= $\text{[math]}$ ，x₄=3（不合题意，舍去），
此时点P的坐标是（ $\text{[math]}$ ，0），
综上所述，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1两部分的点P存在，点P的坐标是（2，0）或（ $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）根据一次函数的解析式y=-x+3分别令x=0，y=0即可求出A，B的坐标．把A或B点的坐标代入抛物线的解析式即可求出m的值，从而求出其解析式．
（2）根据（1）中所求抛物线的解析式设出D点坐标，由A，C，D三点的坐标即可求出S关于x的函数关系式，根据二次函数的顶点坐标公式即可求出S的最大值．
（3）因为不明确△CDE与△CPE面积的大小，故应分两种情况讨论：
①当△CDE与△CEP的面积之比为2：1时，因为两三角形的高相同，所以DE：EP=2：1，即DP=3EP，设P点坐标为（x，0），则D点坐标为（x，-x²+2x+3），由于OA=OB，所以PC=EP，根据P，D两点的坐标即可求出DP与EP的函数关系式，进而求出P点坐标．
②当△CEP与△CDE的面积之比为2：1时，则DE=2EP，同①可求出DP与EP的函数关系式，进而求出P点坐标．
点评：此题是典型的动点问题，把面积的最值问题问题转化成二次函数最值的问题解答．
（3）是一道结论开放性题目，考查了同学们的发散思维能力，解答时要进行分类讨论．

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