Question

如图，△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C′=3，BC=B′C′=4，AB=A′B′=5，将顶点C′与C重合，△A′B′C′绕着点C旋转，旋转过程中，A′C′交AB于点E，A′B′交AB于点F，交BC于点D．
（1）当A′C′⊥AB时，判断△C′DB′和△A′C′D的形状；
（2）当△ACE为等腰三角形时，求出此时AE的值．

Answer 1

解：（1）∵3²+4²=5²，
∴△ABC，△A′B′C′都是直角三角形，且△ABC≌△A′B′C′．
∴∠B=∠B′．
当A′C′⊥AB时，由旋转可知∠ACE=∠B′CB，
由互余关系可得∠ACE=∠B，
∴∠BCB'=∠B′，
∴∠BCB'=∠B，
∴△C′DB′是等腰三角形．
同理得△A′C′D也是等腰三角形．

（2）△ACE为等腰三角形，有三种可能．
①当AE=AC时，AE=AC=3；
②当AE=EC时，E点为线段AB的中点，AE=AB=2.5；
③当AC=CE时，过C点作AB边上的高CM．
由面积法得CM•AB=AC•BC，
∴CM=2.4，
∴AM==1.8，
∴AE=2AM=3.6．
故AE=3或2.5或3.6．
分析：（1）首先运用勾股定理的逆定理证明△ABC，△A'B'C'都是直角三角形，然后证明当A′C′⊥AB时，∠ACE=∠B，而由∠B=∠B'，得出∠BCB'=∠B'，从而证明△C′DB′是等腰三角形．同理得出△A′C′D也是等腰三角形．
（2）当△ACE为等腰三角形时，有三种可能：AE=AC；AE=EC；AC=CE．需要分类求解．
点评：本题主要考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要学会运用勾股定理解决直角三角形中的线段问题．