Question

9．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使点B、D恰好落在AC边上的点F、H处，CE与AG为折痕．
（1）证明：四边形AECG是平行四边形；
（2）连接GF、HE，判断四边形GFEH的形状．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，可得AD∥BC，AB∥CD，又由平行线的性质，可得∠DAC=∠BCA，然后根据折叠的性质可得：∠1=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠2=$\frac{1}{2}$∠BCA，即可证得AG∥CE，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECG是平行四边形．
（2）证明△ADG≌△CBE得出GH∥EF，GH∥EF继而可判断四边形GFEH的形状．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠BCA，
由折叠的性质可得：∠GAH=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE，
∴四边形AECG是平行四边形．
（2）解：四边形GFEH是平行四边形；理由如下：如图所示：
根据题意可知：GH⊥AC，EF⊥AC
∴EF∥GH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠D=∠B=90°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
由折叠可知，∠1=∠2，∠3=∠4，DG=GH，BE=EF，
∴∠1=∠4，
在△ADG和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\\{∠1=∠4}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CBE（ASA），
∴DG=BE，
∴GH=EF，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形GFEH是平行四边形．

点评 本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．