Question

17．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2$\sqrt{2}$时，a=2$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$．
如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=2$\sqrt{13}$，b=2$\sqrt{7}$．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²，b²，c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图4所示，在△ABC中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，连接CP交线段AB于点H，已知AC=7cm，BC=6cm，求线段PH的长度．

Answer 1

分析 （1）由∠ABE=45°，c=2$\sqrt{2}$，得到AP=BP=2，由$\frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}$ 求出PE，PF即可；
（2）设PF=m，PE=n，由 $\frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}=\frac{1}{2}$得到AP=2m，PB=2n，再由勾股定理即可；
（3）判断出△ABF是“中垂三角形”，利用（2）结论得出AC²+BC²=5BA²求出BA即可．

解答 解：如图1．连接EF，

∵AE，AF是△ABC的中线，
∴AF⊥BE，
当∠ABE=45°，c=2$\sqrt{2}$时
在Rt△APB中，AB=c=2$\sqrt{2}$，∠ABE=45°
∴AP=BP=2．
∵AE，AF是△ABC的中线，
∴EF∥AB，
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}$   
∴PE=PF=1，
在Rt△APE中，AP=2，PE=1，
∴AE=$\sqrt{{AP}^{2}{+PE}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴b=a=2AE=2$\sqrt{5}$，
当∠ABE=30°，c=4时
在Rt△APB中，AB=c=4，∠ABE=30°，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=2，PB=2$\sqrt{3}$，
∵EF∥BC，
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}=\frac{1}{2}$，
∴PE=$\sqrt{3}$，PF=1，
在Rt△APE中，AE=$\sqrt{{PA}^{2}{+PE}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴b=AC=2AE=2$\sqrt{7}$，
同理：a=BC=2BF=2$\sqrt{13}$
故答案为2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{13}$，2$\sqrt{7}$；
（2）如图1，连接EF，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，且EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$c，
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}=\frac{1}{2}$，
设PF=m，PE=n，
∴AP=2m，PB=2n，
在Rt△APB中，（2m）²+（2n）²=c²
在Rt△APE中，（2m）²+n²=（$\frac{b}{2}$^）2，
在Rt△FPB中，m²+（2n）²=（$\frac{a}{2}$）²，
∴a²+b²=5c²；
（3）∵AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE
∴△ABC是“中垂三角形”，
∴AC²+BC²=5BA²，
∵AC=7cm，BC=6cm
∴7²+6²=5BA²，
∴AB=$\sqrt{17}$；
在Rt△APB中，PH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理得应用，和“中垂三角形”定义，根据条件表示相关的线段是解本题的关键．