Question

5．（1）如图1，已知E是矩形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC于点F，证明：△ADE∽△BEF．
这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”，那普通的3个等角又会怎样呢？
（2）变式一如图2，已知等边三角形ABC，点D、E分别为BC，AC上的点，∠ADE=60°．
①图中有相似三角形吗？请说明理由．
②如图3，若将∠ADE在△ABC的内部（∠ADE两边不与BC重合），绕点D逆时针旋转一定的角度，还有相似三角形吗？△BDF∽△CED（若有请写出相似三角形，没有则填“无”）
（3）变式二如图4，隐藏变式1图形中的线段AE，在得到的新图形中．
①如果∠B=∠C=∠ADE=50°，图中有相似三角形吗？请说明理由．
②如图5，若∠B=∠C=∠ADE=∠a，∠a为任意角，还有相似三角形吗？△ABD∽△DCE．（若有请写出相似三角形，没有则填“无”）
（4）变式三，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则cosa的值是$\frac{3\sqrt{10}}{10}$（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）利用垂直和同角的余角相等判断出∠ADE=∠BEF即可得出结论；
（2）①类似于（1）的方法利用等边三角形的性质和三角形的内角和得出∴∠ADE=∠BEF即可得出结论；②同①的方法即可得出结论；
（3）①②类似于（2）的方法利用三角形的内角和即可得出结论；
（4）先判断出△ACD≌△BCE，得出AD=CE，CD=BE，进而得出AF=3d，最后利用勾股定理得出AB，即可用三角函数的意义即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠BEF=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEF；

（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△CDE；
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
根据三角形的内角和定理得，∠FDB+∠BFD=120°，
∵∠FDE=60°，
∴∠FDB+∠EDC=120°，
∴∠BFD=∠CDE，
∵∠B=∠C=60°，
∴△FBD∽△CDE；
故答案为：△FBD∽△CDE；

（3）①∠B=∠C=50°，
根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD=130°，
∵∠ADE=50°，
∴∠ADB+∠EDC=130°，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠B=∠C=130°，
∴△ABD∽△CDE；
②B=∠C=α，根据三角形的内角和定理得，∠ADB+∠BAD=180°-α，
∵∠ADE=α，
∴∠ADB+∠EDC=180°-α，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠B=∠C=α，
∴△ABD∽△DCE；
故答案为：△ABD∽△DCE；

（4）如图6，过点A作AD⊥l₁，过点B作BE⊥l₁交l₃于F，
∴∠AFB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB=90°}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=CE，CD=BE，
设平行线间的距离为d，
∴AD=CE=2d，BE=CD=d，
∴DE=CD+CE=3d，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AF=DE=3d，BF=d，
在Rt△ABF中，AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$d，
∴cosα=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{3d}{\sqrt{10}d}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 此题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是用类比的思想方法解决问题．