Question

10．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点A作AD⊥AB交⊙O于点D，交BC于点E，点F在DA的延长线上，且∠ABF=∠C．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AD=4，cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据AD⊥AB，可得DB是⊙O的直径，进而得到根据圆周角定理，可得∠ABF=∠C=∠D，最后根据∠D+∠ABD=90°，可得OB⊥BF，即BF是⊙O的切线；
（2）根据AC=AB，可得∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC，BG=CG，进而在△ABD中，求得BD=5，根据勾股定理可得AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=3，最后在△ABG中，根据∠AGB=90°，AD=4，求得BG=AB×cos∠2=$\frac{12}{5}$，即可得到BC的长．

解答 解：（1）证明：如图，连接BD
∵AD⊥AB，
∴DB是⊙O的直径，
∴∠D+∠ABD=90°，
又∵∠D=∠C，∠ABF=∠C，
∴∠ABD+∠ABF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；

（2）如图，连接OA，交BC于点G，
∵AC=AB，
∴弧AC=弧AB
∴∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC，BG=CG，
∴cos∠D=cos∠2=cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，
在△ABD中，∠DAB=90°，
∴BD=$\frac{AD}{cos∠D}$=5，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
在△ABG中，∠AGB=90°，AD=4，
∴BG=AB×cos∠2=$\frac{12}{5}$，
∴BC=2BG=$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．