Question

14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是AD，OA，BC，OC的中点．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．
（2）当AB，BC满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？并给出证明．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线定理得到EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$OD，GH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$OB，则EF$\stackrel{∥}{=}$GH．由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论；
（2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”可以得到：当BC=$\sqrt{3}$AB时，四边形EFGH为矩形．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB．
∵E、F分别是AD、OA的中点，
EF是△AOD的中位线，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$OD．
同理得到GH是△BOC的中位线，则GH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$OB，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；

（2）当BC=$\sqrt{3}$AB时，四边形EFGH为矩形．理由如下：
如图，连接EG．
∵点E、G是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴EG⊥BC，且点O在线段EG上，∠ABC=90°．
∵BC=$\sqrt{3}$AB，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACB=30°，
∴OG=$\frac{1}{2}$OC=OH，即OG=OH．
又∵由（1）知，四边形EFGH为平行四边形，
∴2OG=2OH，即EG=FH，
∴平行四边形EFGH为矩形．

点评 本题主要考查中点四边形，此题利用了矩形的两条对角线相等和三角形中位线定理进行解题的，难度不大．