Question

2．如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．
（1）过点P画一条直线m，使得m∥a；
（2）若直线a、m表示一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥（桥与岸垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．

Answer 1

分析 （1）把三角板的一条直角边与直线a重合，另一条直角边与直尺重合，然后把直尺三角板想P点平移，再过P点作直线即可．
（2）两点间直线距离最短，使BCMN为平行四边形即可，即BC垂直河岸且等于河宽，接连AC．

解答 解：（1）如图1所示，

（2）如图2，作AA'垂直于河岸a，使AA′等于河宽，
连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线a，
则MN∥AA′且MN=AA′，
于是MNAA′为平行四边形，故MA′=NA．
根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短．

故桥建立在M、N处符合题意．

点评 此题考查了轴对称---最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．