Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别相交于点A、C，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求折痕CE的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设点M为直线CE上的一点，过点M做AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据∠CAO=30°，由折叠可知∠OCE=∠ECD=$\frac{1}{2}$∠OCA=30°，在Rt△COE中，利用三角函数可求OE的值，从而可求点E的坐标是（1，0），然后求出点C的坐标，设直线CE的解析式为y=kx+b，将C、E的坐标代入，可得到关于k、b的方程组，解之即可；
（2）在Rt△AOC中，利用三角函数可求出AC、AO的值，继而求出AD的值，过点D作DF⊥OA于点F，在Rt△AFD中，利用三角函数可求DF、AF的值，然后根据OF=AO-AF求出OF的值，从而求得点D的坐标；
（3）需分情况讨论：
第一种情况：若此点在第四象限内，可设其为M₁，延长DF交直线CE于M₁，连接M₁O，则有DM₁∥y轴，求出点M₁的坐标；
第二种情况：此点在第二象限内，设为M₂．可过点D作DN∥CE交y轴于N，过N点作NM₂∥CD交直线CE于点M₂，则四边形M₂NDC为平行四边形，求出点M₂的坐标即可．

解答 解：（1）由题意知∠CAO=30°，
∴∠OCE=∠ECD=$\frac{1}{2}$∠OCA=30°，
∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别相交于点A、C，
∴C（0，$\sqrt{3}$），
∴在Rt△COE中，OE=OC•tan∠OCE=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
∴点E的坐标是（1，0），
设直线CE的解析式为y=kx+b．
把点C（0，$\sqrt{3}$），E（1，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴直线CE的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）在Rt△AOC中，AC=$\frac{OC}{sin∠CAO}$=2$\sqrt{3}$，
AO=$\frac{OC}{tan∠CAO}$=3，
∵CD=OC=$\sqrt{3}$，
∴AD=AC-CD=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
过点D作DF⊥OA于点F，
在Rt△AFD中，DF=AD•sin∠CAO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
AF=AD•cos∠CAO=$\frac{3}{2}$，
∴OF=AO-AF=$\frac{3}{2}$，．
∴点D的坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

（3）存在两个符合条件的M点，第一种情况：此点在第四象限内，设为M₁，延长DF交直线CE于M₁，
连接M₁O，M₁O∥AC，
则有DM₁∥y轴，
∵OF=$\frac{3}{2}$，
∴设点M₁的坐标为（$\frac{3}{2}$，y₁），
又∵点M₁在直线CE上，
∴将点M₁的坐标代入y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$中，
得y₁=-$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$+$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即FM₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴点M₁的坐标是（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
又∵DM₁=DF+FM₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，OC=$\sqrt{3}$，
∴DM₁=OC，
又∵DM₁∥OC，
∴四边形CDM₁O为平行四边形，
又∵点O在y轴上，
∴点M₁是符合条件的点．
第二种情况：此点在第二象限内，设为M₂，
过点D作DN∥CE交y轴于N，过N点作NM₂∥CD交直线CE于点M₂，
则四边形M₂N₂DC为平行四边形，
∴M₂N=CD=$\sqrt{3}$，
∵M₂N∥CD，DN∥CE，
∴∠NM₂C=∠ACE，∠OCE=∠M₂CN，
∴CN=M₂N，
∵M₂N=CD=$\sqrt{3}$，
∴CN=$\sqrt{3}$，
作M₂H⊥y轴于点H，
∵M₂N∥CD，
∴∠M₂NC=∠NCD，
∴∠M₂NH=∠OCA=60°，
在Rt△M₂NH中，
M₂H=M₂N•sin60°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
NH=M₂N•cos60°=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴HO=HN+CN+OC=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴M₂（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
∴点M₂是符合条件的点，
综上所述，符合条件的两个点的坐标分别为M₁（$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），M₂（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了一次函数的综合应用，涉及了一元二次方程的根，待定系数法求函数的解析式、勾股定理、全等三角形的性质等知识点的应用，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．