Question

11．关于x的二次函数y=x²+2kx+k-1，下列说法正确的是（　　）

• A． 对任意实数k，函数与x轴都没有交点
• B． 存在实数n，满足当x≥n时，函数y的值都随x的增大而减小
• C． 不存在实数n，满足当x≤n时，函数y的值都随x的增大而减小
• D． 对任意实数k，抛物线y=x²+2kx+k-1都必定经过唯一定点

Answer 1

分析 A、计算出△，根据△的值进行判断；
B、根据二次函数的性质即可判断；
C、根据二次函数的性质即可判断；
D、令k=1和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可；

解答 解：∵△=（2k）²-4（k-1）=4（k-$\frac{1}{2}$）²+3＞0，∴
函数与x轴有两个交点，故A错误；
∵二次函数y=x²+2kx+k-1中a=1＞0，
∴当x＞-$\frac{2k}{2}$时，函数y的值都随x的增大而增大，x＜-$\frac{2k}{2}$时，函数y的值都随x的增大而减小，
当n=-$\frac{2k}{2}$时，当x≥n时，函数y的值都随x的增大而增大，故B错误；
当n=-$\frac{2k}{2}$时，当x≤n时，函数y的值都随x的增大而减小，故C错误；
∵令k=1和k=0，得到方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$代入x²+2kx+k-1得，$\frac{1}{4}$-k+k-1=-$\frac{3}{4}$，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），故D正确．
故选D．

点评 本题考查了二次函数的性质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的性质是解题的关键．