Question

16．如图1，已知Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=5，BO=3，
（1）点C为斜边AB上一点，且点C到点O的距离等于斜边AB的一半，利用直尺和圆规，作出满足条件的所有点C．
（2）如图2，点E、M是线段AB上的动点（不与端点重合），分别过E、M作AO的垂线，垂足分别为K、L．
①求△OEK面积S的最大值；
②若以OE、OM为边构造平行四边形EOMF，当EM⊥OF时，写出此时OE的取值范围，并求证：OK+OL=$\frac{45}{17}$．

Answer 1

分析 1、利用尺规作线段AB的中垂线，找到线段AB的中点，即C₁，再以点O为圆心，中线长为半径画圆弧，在线段AB上找到另一个满足要求的点C₂；
2、根据条件证明△OBA∽△KEA，得到比例式，用含OK的式子表示KE，根据三角形的面积公式，列出关于OK的关系式即可；
3、根据菱形的性质和勾股定理，利用一元二次方程根与系数的关系，求出答案．

解答 解：（1）先利用尺规作线段AB的中垂线，找到线段AB的中点，该中点即为满足要求的其中一个点C₁，连接中线OC₁此时可利用圆规截取中线OC₁的长，再以点O为圆心，中线长为半径画圆弧，在线段AB上找到另一个满足要求的点C₂．

（2）∵EK⊥OA，∠AOB=90°，
∴△OBA∽△KEA．
∴$\frac{OB}{KE}$=$\frac{OA}{KA}$．∴$\frac{3}{KE}$=$\frac{5}{5-OK}$．
∴KE=$\frac{3（5-OK）}{5}$．
∴S=$\frac{1}{2}$×OK•KE=$\frac{3OK（5-OK）}{10}$．
设OK=x，则S=$\frac{3x（5-x）}{10}$=-$\frac{3（{x}^{2}-5x）}{10}$．
∴当x=$\frac{5}{2}$时，S有最大值，最大值为$\frac{15}{8}$．
②解：当EM⊥OF时，平行四边形EOMF为菱形，OE的取值范围为$\frac{15}{34}\sqrt{34}$＜OE＜3．
设OK=a，OL=b，
由（1）得，KE=$\frac{3（5-a）}{5}$，ML=$\frac{3（5-b）}{5}$．
由OE=OM得a²+[$\frac{3（5-a）}{5}$]²=b²+[$\frac{3（5-b）}{5}$]²．
设y=x²+[$\frac{3（5-x）}{5}$]²=$\frac{34}{25}$x²-$\frac{18}{5}$x+9，
则当x₁=a，x₂=b时，函数y的值相等．
函数y的对称轴为直线x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$
即$\frac{a+b}{2}$=$\frac{45}{34}$
解得a+b=$\frac{45}{17}$，即OK+OL=$\frac{45}{17}$．

点评 本题综合考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、二次函数的知识，综合性很强，属于较难题，需要学生有综合运用知识的能力．