Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C（0，3）点，顶点为O′（-1，4），点Q是抛物线上的动点，且在第二象限内．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）设Q点的横坐标为t，问t为何值时△ACQ的面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数的解析式；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得C′点，根据待定系数法，可得BC′的解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（3）根据点到直线的距离，可得h，根据勾股定理，可得AC的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）由顶点坐标公式，及C点坐标，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
（2）作C点关于x=-1的对称点C′连接BC′交对称轴于P点，，
PB+PCBC=BC′+BC．
由C（0，3）得C′点坐标为（-2，3）．
当y=0时，-x²-2x+3=0．
解得x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0），B（1，0）．
设BC′的解析式为y=kx+b，图象过点（-2，3），（1，0），得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=3}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴BC′的解析式为y=-3x+3，
当x=-1时，y=-3×（-1）+3=6，
P点坐标为（-1，2）时，△PBC的周长最小；
（3）设Q点坐标为（t，-t²-2t+3）（-3＜t＜0），设AC的函数解析式为y=kx+b，图象经过点A、C，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
AC的函数解析式为y=x+3，
点Q到AC的距离是h=$\frac{|t+{t}^{2}+2t-3+3|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{|{t}^{2}+3t|}{\sqrt{2}}$，
由勾股定理，得
AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
S_△ACQ=$\frac{1}{2}$AC•h=$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{2}$×$\frac{|{t}^{2}+3t|}{\sqrt{2}}$，
当t=-$\frac{3}{2}$时，S_△ACQ最大=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\frac{9}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，（3）利用了勾股定理，点到直线的距离，二次函数的性质．