Question

1．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．线段AE上有一动点P（不与A重合），从A点开始沿AE方向匀速运动，到达点E时停止．运动的速度为每秒2个单位长度，设运动的时间为t秒，过P点作AE的垂线交AD于点Q，以PQ为边向上作正方形PQMN，正方形PQMN与矩形ABCO重叠部分（阴影部分）面积为S（平方单位）．
（1）求D、E两点的坐标．
（2）当重叠部分为五边形时，求S与t之间的函数关系式并直接写出t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（4）连接PC、CQ．当△CQP为直角三角形时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）如图1依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，于是得到在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，BE=$\sqrt{{AE}^{2}{-AB}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-4}^{2}}$=3，求得CE=2，E点坐标为（2，4），在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE²，因为DE=OD，所以（4-OD）²+2²=OD²，解得OD=$\frac{5}{2}$，求得D点坐标为（0，$\frac{5}{2}$）；
（2）如图②由PQ∥ED，得到△APQ∽△AED，求出五边形的面积S=-5t²+20t-$\frac{50}{3}$，（$\frac{5}{3}$＜t＜$\frac{20}{9}$）；
（3）由抛物线的顶点坐标公式求得当t=$\frac{25}{4}$时，S_最大=$\frac{424}{3}$；
（4）如图3，由△CPQ是直角三角形，可判定只有∠CQP=90°，根据DE∥PQ得到CQ⊥DE，因为∠DCE=90°，根据射影定理得到CE²=DE•GE，即2²=$\frac{5t}{2}$•t，求得t=$\frac{8}{5}$．

解答 解：（1）如图1依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，
BE=$\sqrt{{AE}^{2}{-AB}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}{-4}^{2}}$=3，
∴CE=2，
∴E点坐标为（2，4），
在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE²，
又∵DE=OD，
∴（4-OD）²+2²=OD²，
解得：OD=$\frac{5}{2}$，
∴D点坐标为（0，$\frac{5}{2}$）；
（2）如图②∵PQ∥ED，
∴△APQ∽△AED，
∴$\frac{PQ}{DE}$=$\frac{AP}{AE}$，∵AP=2t，ED=$\frac{5}{2}$，AE=5，
∴PQ=t，∴PN=PQ=t，NE=3t-5，
∵MN∥DE，∴∠NHE=∠CED，
∵∠M=∠DCE，
∴△HEN∽△EDC，
∵AP=2t，ED=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{NE}{CD}$=$\frac{NH}{CE}$，∴$\frac{3t-5}{\frac{3}{2}}$=$\frac{NH}{2}$，
∴NH=$\frac{12t-20}{3}$，
∴S_{五边形PEHNQ}=S_{正方形PMNQ}-S_△HEM=t²-$\frac{1}{2}$•（3t-5）•$\frac{12t-20}{3}$，
当NH等于NM时，重叠部分的面积不再是五边形，此时$\frac{12t-20}{3}$=t，解得t=$\frac{20}{9}$，
∴S=-5t²+20t-$\frac{50}{3}$，（$\frac{5}{3}$＜t＜$\frac{20}{9}$）；

（3）当t=2时，S_最大=$\frac{10}{3}$；

（4）如图3，∵△CPQ是直角三角形，
∴∠CQP=90°，∵DE∥PQ，
∴CQ⊥DE与G，
∵∠DCE=90°，
∴CE²=DE•GE，
即2²=$\frac{5}{2}$×t，
∴t=$\frac{8}{5}$
∴当t=$\frac{8}{5}$时，△CPQ是直角三角形．

点评 本题考查了图形的变换翻折，矩形的性质，动点问题，三角形相似的判定和性质，面积问题，根据题意正确画出图形是解体的关键．