基本模型如图1.点A.F.B在同一直线上.若∠A=∠B=∠EFC=90°.易得△AFE∽△BCF．(1)模型拓展:如图2.点A.F.B在同一直线上.若∠A=∠B=∠EFC.求证:△AFE∽△BCF,(2)拓展应用:如图3.AB是半圆⊙O的直径.弦长AC=BC=4$\sqrt{2}$.E.F分别是AC.AB上的一点.若∠CFE=45°．若设AE=y.BF=x.求出y与x的函数关系式� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．基本模型
如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE∽△BCF．
（1）模型拓展：
如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4$\sqrt{2}$，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°．若设AE=y，BF=x，求出y与x的函数关系式及y的最大值；
（3）拓展提升：如图4，在平面直角坐标系柳中，抛物线y=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-6）与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，抛物线的对称轴交线段BC于点E，探求线段AB上是否存在点F，使得∠EFO=∠BAO？若存在，求出BF的长；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用已知得出∠E=∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；
（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，则$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AF}{BC}$，进而求出y与x的函数关系式及y的最大值；
（3）首选求出A，C点坐标，再得到△CEH∽△CBO，求出BE的长，再利用△AFO∽△BEF，求出BF的长．

解答（1）证明：如图2，∵∠A=∠EFC，
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，
∴∠E=∠CFB，
∵∠A=∠B，
∴△AFE∽△BCF；

（2）解：如图3，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=8，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠A=∠B=∠CFE=45°，
由（1）可得△AFE∽△BCF，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AF}{BC}$，即$\frac{y}{x}$=$\frac{8-x}{4\sqrt{2}}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{2}}{8}$x²+$\sqrt{2}$x（0≤x≤8），
当x=4时，y_最大=2$\sqrt{2}$；

（3）解：如图4，存在一点F，使得∠EFO=∠BAO，
理由：连接EF，FO，
抛物线y=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-6），
对称轴为x=$\frac{-4+6}{2}$=1，
把x=0代入y=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-6），得y=8，
∴B（0，8），即OB=8
把y=0代入y=-$\frac{1}{3}$（x+4）（x-6）得x₁=-4，x₂=6，
∴A（-4，0），C（6，0），
∴OC=6，OA=4，AC=10，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵EH∥BO，
∴△CEH∽△CBO，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{OH}{OC}$，即$\frac{BE}{10}$=$\frac{1}{6}$，
解得：BE=$\frac{5}{3}$，
∵BC=AC=10，
∴∠CAB=∠CBA
∴∠CAB=∠CBA=∠EFO，
由（1）可得△AFO∽△BEF，
∴$\frac{BF}{AO}$=$\frac{BE}{AF}$，
设BF=x，则$\frac{x}{4}$=$\frac{\frac{5}{3}}{4\sqrt{5}-x}$，
化简得：x²-4$\sqrt{5}$x+$\frac{20}{3}$=0，
解得：x₂=2$\sqrt{5}$-$\frac{2\sqrt{30}}{3}$，x₄=2$\sqrt{5}$+$\frac{2\sqrt{30}}{3}$，
∴当BF=2$\sqrt{5}$-$\frac{2\sqrt{30}}{3}$或2$\sqrt{5}$+$\frac{2\sqrt{30}}{3}$时，∠EFO=∠BAO．

点评此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及二次函数最值等知识，根据题意熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．

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