Question

如图，已知矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则下面结论：
①BE=DE；②S_△BED=8；③AE=3；④△ABE≌△C′DE．
正确的结论个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：先根据折叠的性质得∠CBD=∠C′BD，再根据矩形的性质得AD∥BC，则利用平行线的性质得∠EDB=∠CBD，所以∠C′BD=∠EDB，根据等腰三角形的判定定理得到BE=DE；设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得到4²+（8-x）²=x²，解得x=5，利用三角形面积公式计算出S_△BDE=10；且AE=AD-DE=3；根据折叠的性质得∠C=∠C′=90°，则根据“AAS”可判断△ABE≌△C′DE．

解答：解：∵矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′，
∴∠CBD=∠C′BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠C′BD=∠EDB，
∴BE=DE，所以①正确；
设DE=x，则BE=x，AE=8-x，
在Rt△ABE中，
∵AB²+AE²=BE²，
∴4²+（8-x）²=x²，解得x=5，
∴DE=5，
∴S_△BDE=

1

2

AB•DE=

1

2

×4×5=10，所以②错误；
∴AE=AD-DE=8-5=3，所以③正确；
∵矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′，
∴∠C=∠C′=90°，
在△ABE和△C′DE中

∠A=∠C′ ∠AEB=∠C′ED EB=ED

，
∴△ABE≌△C′DE，所以④正确．
故选C．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和矩形的性质．