Question

8．如图，在?ABCD中，分别过各顶点向对角线作垂线BE，CH，DG，AF，垂足为E，H，G，F，求证：四边形EFGH为平行四边形．

Answer 1

分析 根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，然后利用“角角边”证明△AOE和△COG全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OG，同理可得OF=OH，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形EFGH是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行证明即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AF⊥BD，CH⊥BD，
∴∠AFO=∠CHO=90°，
在△AOF和△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠COH}\\{∠AFO=∠CHO=90°}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COH（AAS），
∴OF=OH，
同理可得OE=OG，
∴四边形EFGH是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形和三角形全等的判定方法是解题的关键．