Question

13．如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，CG⊥AB，点D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC．
（1）试探究DE、DF、CG三条线段之间的数量关系；
（2）当点D在直线BC上移动时，线段DE、DF、CG之间的数量关系相应地会发生怎样的变化呢？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结AD，根据S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，利用三角形面积公式即可得出CG=DE+DF；
（2）分两种情况：如图2，点D在CB的延长线上；如图3，点D在BC的延长线上；进行讨论，根据三角形面积公式即可得出线段DE、DF、CG之间的数量关系．

解答 解：（1）CG=DE+DF．理由如下：
如图1，连结AD，

∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}$AB×CG=$\frac{1}{2}$AB×DE+$\frac{1}{2}$AC×DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．


（2）如图2，点D在CB的延长线上，
连接AD，
∵S_△ACD=S_△ABD+S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AC×DF=$\frac{1}{2}$AB×DE+$\frac{1}{2}$AB×CG，
∵AB=AC，
∴DF=DE+CG．

如图3，点D在CB的延长线上，
连接AD，
∵S_△ABD=S_△ACD+S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB×DE=$\frac{1}{2}$AB×CG+$\frac{1}{2}$AC×DF，
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF．

点评 本题考查了等腰三角形性质，三角形面积的应用，题目具有一定的代表性，难度适中．注意分类思想的应用．