Question

5．如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，CF=CB，联结DB，BE，EF，FD．
（1）求证：四边形DBEF是矩形；
（2）如果∠A=60°，菱形ABCD的面积为$8\sqrt{3}$，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得出CE=CD，CF=CB，再根据矩形的判定证明即可．
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，得出DB的长度，再根据含30°直角三角形的性质解答即可．

解答 （1）证明：∵CE=CD，CF=CB，
∴四边形DBEF是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB．
∴CE=CF，
∴BF=DE，
∴四边形DBEF是矩形．
（2）设DB为2a，
∵∠A=60°，菱形ABCD的面积为$8\sqrt{3}$，
∴可得$\frac{1}{2}•2a•2\sqrt{3}a=8\sqrt{3}$，
解得：a=2，
∴DB=4，
∵∠DBC=60°，
∴DF=$4\sqrt{3}$．

点评 此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和矩形的判定解答，同时根据菱形的面积和直角三角形的性质分析．