Question

9．抛物线y=ax²+2x+c经过点A，B，C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²+2x+c经过点A（-1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先令y=-x²+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法求得直线BC的解析式为y=-x+3，再设P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），求出PD的长，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，得到S_△BDC=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，点P的坐标；
（3）求得顶点E的坐标，过点C作CH⊥EF，则CH=1．然后分①点N在EH上时，点N与点E重合时，点M的横坐标最大，然后根据勾股定理得出CD²+DM²=CM²，列出关于m的方程，解方程求出m的最大值；②点N在线段HF上时，设HN=x，然后表示出NF，根据同角的余角相等求出∠NCH=∠MNF，然后证明△NCH和△MNF相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出MF，再根据二次函数的最值问题求出MF的最大值，然后求出MO，从而得到点M的坐标，求出m的最小值．

解答 解：（1）由题意得：A（-1，0），C（0，3）．y=ax²+2x+c
$\left\{\begin{array}{l}{a-2+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）如图1，令y=0，则-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x=3
即B（3，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
则 $\left\{\begin{array}{l}{3k+b′=0}\\{b′=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b′=3}\end{array}\right.$，
故直线AC的解析式为y=-x+3．
设P（a，-a+3），则D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（-a+3）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB=$\frac{1}{2}$PD•a+$\frac{1}{2}$PD•（3-a）=$\frac{1}{2}$PD•3=$\frac{3}{2}$（-a²+3a）=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当a=$\frac{3}{2}$时，△BDC的面积最大，此时P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（3）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴点E的坐标为（1，4）．
如图，过点C作CH⊥EF，则CH=1．
①点N在EH上时，如图2①，点N与点E重合时，点M的横坐标最大．
∵∠MNC=90°，∴CE²+EM²=CM²，
∵C（0，3），E（1，4），M（m，0），
∴（1-0）²+（4-3）²+（m-1）²+（0-4）²=（m-0）²+（0-3）²，
解得m=5．
∴点M的坐标为（ 5，0），
即m的最大值为5；
②点N在线段HF上时，如图2②，设HN=x，则NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNH+∠MNF=90°，
又∵∠CNH+∠NCH=90°，
∴∠NCH=∠MNF，
又∵∠NHC=∠MFN=90°，
∴Rt△NCH∽△MNF，
∴$\frac{CH}{NF}$=$\frac{HN}{MF}$，即 $\frac{1}{3-x}$=$\frac{x}{MF}$，
整理得，MF=x（3-x）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，MF有最大值$\frac{9}{4}$，
∴M的坐标为（-$\frac{5}{4}$，0），
∴m的最小值为-$\frac{5}{4}$，
故实数m的变化范围为-$\frac{5}{4}$≤m≤5．

点评 此题考查了待定系数法求函数的解析式、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．