Question

4．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，定义“外延矩形”：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴垂直，且点A，B，C在该矩形的内部或边界上．则该矩形称为A，B，C的“外延矩形”．
我们把点A，B，C的所有的“外延矩形”中，面积最小的称为点A，B，C的“最佳外延矩形”．
（Ⅰ）已知点A（-2，0），B（4，3），C（0，t）．
①若t=2，则点A，B，C的“最佳外延矩形”的面积为18；
②若点A，B，C的“最佳外延矩形”的面积为24，请直接写出t的值．
（Ⅱ）已知M（0，8），N（6，0），点P（x，y）是抛物线y=x²-4x+3上一点，求点M，N，P的“最佳外延矩形”面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围．
（Ⅲ）已知D（1，1），点E（m，n）是函数$y=\frac{4}{x}$的图象上一点，求点O，D，E的“最佳外延矩形”面积的最小值，以及此时点E的横坐标m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①利用最佳外延矩形的定义求解即可，②利用最佳外延矩形的定义求解即可；
（Ⅱ）先求出M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小，利用抛物线求出与y轴及矩形的交点即可求出点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值时点P的横坐标x的取值范围；
（Ⅲ）求出过D垂直x轴的直线交双曲线于点E₁，矩形OFE₁G是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，根据自变量与函数值的对应关系，可得E坐标，可得点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形的面积；求出过D垂直y轴的直线交双曲线于点E₂，矩形OAE₂B是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，根据自变量与函数值的对应关系，可得E坐标，可得点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形的面积；根据双曲线上的点双曲线上的点作x轴y轴的垂线所得的矩形面积都是4，可得答案．

解答 解：（1）①如图1，

∵A（-2，0），B（4，3），C（0，2）．
∴点A，B，C的最佳外延矩形的面积为[4-（-2）]×3=18．
故答案为：18．
②如图2，

∵点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，
∴A（-2，0），B（4，3），C（0，4）或A（-2，0），B（4，3），C（0，-1）．
∴t=4或t=-1；        
故答案为：4或-1；
（2）如图3，
过M点作x轴的垂线与过N点垂直于y轴的直线交于点Q，则当点P位于矩形OMQN内部或边界时，矩形OMQN是点M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小．
∵S_矩形OMQN=OM•ON=6×8=48，
∴点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为48．
抛物线y=x²-4x+3与y轴交于点T（0，3）．
令y=0，有x²-4x+3=0，
解得  x=1，或x=3．
令y=8，有=x²-4x+3=8，
解得  x=-1（舍），或x=5．
∴0≤x≤1，或3≤x≤5；
（Ⅲ）如图4，
矩形OFE₁G是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，S${\;}_{矩形OF{E}_{1}G}$=OF×OG=4，
矩形OAE₂B是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，
S${\;}_{矩形OA{E}_{2}B}$=OA×OB=4，以双曲线上的点作x轴y轴的垂线所得的矩形面积都是4，
点O，D，E的“最佳外延矩形”面积的最小值是4，此时点E的横坐标m的取值范围1≤m≤4．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及长方形的面积及双曲线等知识，解题的关键是最佳外延矩形的定义．