Question

13．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD²=CA•CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线BE交CD的延长线于点E，若BC=12，CA=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）易证△CDA∽△CBD，由相似三角形的对应边成比例来证得结论；
（2）连结OD，则∠ADO=∠BAD，由圆周角定理得出∠BDA=90°，∠CBD+∠BAD=90°，由∠CDA=∠CBD，得出∠CDA+∠ADO=90°=∠CDO，即可得出结论；
（3）证明△CDO∽△CBE，得出$\frac{CD}{CB}=\frac{OD}{BE}$，由已知求出AB=8，OA=OD=4，OC=8，由勾股定理求得CD的长，代入比例式即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CD}$，∴CD²=CA•CB
（2）证明：连结OD，如图所示：
则∠ADO=∠BAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠CBD+∠BAD=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA+∠ADO=90°=∠CDO，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线；
（3）解：∵BE是⊙O的切线，
∴∠CBE=90°，
由（2）知∠CDO=90°，
∴∠CDO=∠CBE，
又∵∠C=∠C，
∴△CDO∽△CBE，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{OD}{BE}$，
∵BC=12，CA=4，
∴AB=8，
∴OA=OD=4，
∴OC=CA+OA=8，
在Rt△CDO中，CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{4\sqrt{3}}}{12}=\frac{4}{BE}$，
解得：BE=$4\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．