Question

8．如图；抛物线y=ax²+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），请回答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4？若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明不存在的理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），可以求得抛物线的解析式；
（2）将第（1）问求得的抛物线的解析式化为顶点式可以求得顶点D的坐标，对称轴与x轴交于点E的坐标，由B（-1，0），从而可以求得BE、DE的长，进而可以求得BD的长；
（3）设出点M的坐标，根据第（1）问求得的函数解析式可以求得点C的坐标，从而可以得到BC的长度，设出点M的坐标，根据△MBC的面积是4，可以求得点M的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a+2×（-1）+c=0}\end{array}\right.$
解得，a=-1，c=3，
即抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）∵物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，B（-1，0），
∴点D的坐标是（1，4），点E的坐标是（1，0），
∴DE=4，BE=2，
∴$BD=\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
即BD的长是$2\sqrt{5}$；
（3）在抛物线的对称轴上存在点M，使得△MBC的面积是4．
设点M的坐标为（1，m），
由-x²+2x+3=0得x=-1或x=3，
即点B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（3，0），
∴BC=3-（-1）=4，
∵△MBC的面积是4，
∴${S}_{△BCM}=\frac{BC×|m|}{2}=\frac{4×|m|}{2}=4$，
解得，m=±2，
即点M的坐标为（1，2）或（1，-2）．

点评 本题考查二次函数综合题、求函数的解析式、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是明确题意，会求函数的解析式，能利用勾股定理可以求得直角三角形中某一边的长度，会求二次函数与x轴的交点，会利用三角形的面积探究抛物线上点的坐标．