Question

18．如图：把三角形ABC绕A点旋转，使得B到E，C到D，E在BC上，BE：EC=4：1，如果三角形ABC的BC边上的高AO=4，BC=5，求三角形AEF的面积．

Answer 1

分析 由BE：EC=4：1，BC=5，可求得BE与CE的长，由旋转的性质可得，AB=AE，又由高AO=4，可求得OE的长，可证得△ABC与△ABE是等腰三角形，继而证得△EFC是等腰三角形，又由相似三角形的对应边成比例，求得CF：AF的值，继而求得答案．

解答 解：∵BE：EC=4：1，BC=5，
∴BE=4，CE=1，
由旋转的性质可得：AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵高AO=4，
∴OE=OB=$\frac{1}{2}$BE=2，
∴OC=OE+EC=3，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
∵∠BAE=∠C，
∵∠AED+∠FEC=∠BAE+∠B，∠B=∠AED，
∴∠FEC=∠BAE，
∴∠FEC=∠C，
∴EF=FC，
∴AD=AC=5，
∵∠C=∠D，∠EFC=∠AFD，
∴△EFC∽△AFD，
∴EF：AF=EC：AD=1：5，
∴FC：AF=1：5，
∵S_△AEC=$\frac{1}{2}$EC•OA=$\frac{1}{2}$×1×4=2，
∴S_△AEF=$\frac{5}{6}$S_△AEC=$\frac{5}{6}$×2=$\frac{5}{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．注意证得△EFC是等腰三角形，△EFC∽△AFD是解此题的关键．