Question

8．已知△ABC为等边三角形．
（1）如图，P为△ABC外一点，∠BPC=120°，连接PA，PB，PC，求证：PB+PC=PA；
（2）如图，P为△ABC内一点，PC＞PB，∠BPC=150°，若PA=5，△BPC的面积为3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）将△ABP绕着点A逆时针旋转60°，得△ACP′，通过点P、C、P′三点共线得出△APP′为等边三角形，从而得证．
（2）将△ABP绕着点A逆时针旋转60°，得△ACP″，连接PP″，通过边角关系找到△PAP″为等边三角形，△PCP″为直角三角形，再根据给定条件即可求得△ABC的面积．

解答 （1）证明：将△ABP绕着点A逆时针旋转60°，得△ACP′，如图①所示．

∵∠BAC+∠BPC=180°，
∴∠ABP+∠ACP=180°，
∴∠ACP′+∠ACP=180°，
∴点P、C、P′三点共线，
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAP′=∠PAP′=60°，且AP=AP′，
∴△APP′为等边△，
∴AP=PP′=BP+PC．
证毕．
（2）解：将△ABP绕着点A逆时针旋转60°，得△ACP″，连接PP″，如图②所示．

∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=∠CAP″+∠PAC=∠PAP″，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠PAP″=60°，
∵AP=AP″，
∴△PAP″为等边三角形，
∵∠PCP″=∠ACP+∠ACP″=∠ACP+∠ABP，且∠BPC=150°，
∴∠PCP″=∠ABC+∠ACB-∠PBC-∠PCB=60°+60°-180°+150°=90°，
∴△PCP″为直角三角形，
△BPC的面积为$\frac{1}{2}$×BP×PC×sin∠BPC=$\frac{1}{4}$×BP×PC，
△PCP″的面积为$\frac{1}{2}$×PC×CP″=$\frac{1}{2}$×BP×PC，
∵△BPC的面积为3，
∴△PCP″的面积为3÷$\frac{1}{2}$=6，
∵△APP″为等边三角形，且AP=5，
∴△APP″的面积为$\frac{1}{2}$×AP×AP″×sin60°=$\frac{1}{2}$×5×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC的面积为6+$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查的是旋转的性质，（1）解题的关键是旋转三角形，将PB、PC放在同一直线上，再利用证等边三角形得出结论；（2）解题的关键是旋转三角形，将不知道边长的等边三角形换成一个已知边长的等边三角形加上直接三角形的形式，即可求得结论．