Question

17．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，-4）
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，画出旋转后的图形；
（2）画出一条直线l使其将△ABC分为两部分，并且两部分的面积比为1：3；
（3）求sin∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用旋转的性质分别得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用底边分为1：3，即可得出两部分的面积比为1：3；
（3）首先得出BD，DC的长，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．

解答 解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；

（2）如图所示：直线l，即为所求；

（3）由图象可得：A（2，2），C（4，-4），
设AC解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{4k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=8}\end{array}\right.$，
则直线AC的解析式为：y=-3x+8，
当y=0时，x=$\frac{8}{3}$，
则BD=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
DC=$\sqrt{B{C}^{2}+B{D}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
故sin∠ACB=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4\sqrt{10}}{3}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 此题主要考查了旋转变换以及锐角三角三角函数关系以及待定系数法求一次函数解析式，正确得出DC，BD的长是解题关键．