Question

如图所示，在四边形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，易证∠BAD=∠CAD′，即可证明△BAD≌△CAD′，可得BD=CD′，∠DAD′=90°，根据勾股定理可求得DD'的值，再根据勾股定理可求得CD'的值，即可解题．

解答：解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，

BA=CA ∠BAD=∠CAD′ AD=AD′

，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′，∠DAD′=90°，
由勾股定理得DD′=

AD2+(AD′)2

=3

2

，∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得CD′=

DC2+(DD′)2

=

22

，
∴BD=CD′=

22

．
故答案为：

22

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理运用，本题中求证△BAD≌△CAD′是解题的关键．