Question

在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．过C点作CG∥AD，交BA的延长线于G，过A作BC的平行线交CG于H点．
（1）若∠BAC=90°，求证：四边形ADCH是菱形；
（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先判定四边形ADCH是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边判定AD=CD，则易推知结论；
（2）首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．

解答：（1）证明：如图，∵CG∥AD，AH∥CD，
∴四边形ADCH是平行四边形．
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=CD，
∴四边形ADCH是菱形；

（2）过A作AM⊥CD，垂足为M．
∵AD=AC，
∴DG=CM，
∴BD：BM=2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AG，
∴△BDE∽△BMA，
∴ED：AM=BD：BM=2：3，
∵DE=3，
∴AM=

9

2

，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴

S△FCD

S△ABC

=（

CD

BC

）²=

1

4

．
∵S_△ABC=

1

2

×BC×AM=

1

2

×8×

9

2

=18，
∴S_△FCD=

1

4

S_△ABC=

9

2

．

点评：此题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．