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【题目】如图,一条抛物线经过原点和点C(8,0),A、B是该抛物线上的两点,AB∥x轴,点A坐标为(3,4),点E在线段OC上,点F在线段BC上,且满足∠BEF=∠AOC.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若四边形OABE的面积为14,求S△ECF

(3)是否存在点E,使得△BEF为等腰三角形?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2);(3)存在点E,点E的坐标为(2,0)或(3,0) 或(,0)

【解析】试题分析:1)根据题意可设该抛物线的解析式为:y=axx-8)(a≠0).然后将点A的坐标代入求值即可;

2先求出由相似三角形AOE∽△ECF求得面积比等于相似比的平方,则易求ECF的面积

3)需要分类讨论:当AE=EFAF=EFAE=AF时,分别求得点E的坐标.

试题解析:

1)设抛物线解析式为

A34)代入得:

∴抛物线解析式为,即

2ABx

∴四边形OABC关于抛物线对称轴对称

∴∠AOC=BCOB54

AB=2BC=OA=5

∵四边形OABE的面积为14

OE=5

CE=3BE=4

∵∠BEF=AOC=BCO, EBF=CBE

∴△BEF∽△BCE

(3)存在点E使得BEF为等腰三角形

BE=BF时,则∠BEF=BFE

∵∠BEF=ACO=BCO

∴∠BFE=BCE

EFEC重合

∴∠BEC=BEF=AOC

OABE

ABx

OE=AB=2

E(20)

EB=EF,则∠EBF=EFB

∵△BEF∽△BCE

∴∠BEC=BFE

∴∠BEC=EBF

EC=BC=5

OE=OC-EC=8-5=3

E(30)

FB=FE时,则∠FBE=FEB

∴∠BCO=FEB=FBE

BE=EC,即点EBC的中垂线上

EEMBC,垂足为M;过AANOC,垂足为N

CM= ,ON=3OA=5

∵∠AON=ECMANO=

∴△AON∽△ECM

EC=

OE=OC-EC=

E(0)

∴综上所述,存在点E,点E的坐标为(20)(30) (0)

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