【题目】如图,一条抛物线经过原点和点C(8,0),A、B是该抛物线上的两点,AB∥x轴,点A坐标为(3,4),点E在线段OC上,点F在线段BC上,且满足∠BEF=∠AOC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若四边形OABE的面积为14,求S△ECF;
(3)是否存在点E,使得△BEF为等腰三角形?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在点E,点E的坐标为(2,0)或(3,0) 或(,0)
【解析】试题分析:(1)根据题意可设该抛物线的解析式为:y=ax(x-8)(a≠0).然后将点A的坐标代入求值即可;
(2)先求出由相似三角形△AOE∽△ECF,求得面积比等于相似比的平方,则易求△ECF的面积;
(3)需要分类讨论:当AE=EF、AF=EF和AE=AF时,分别求得点E的坐标.
试题解析:
(1)设抛物线解析式为,
把A(3,4)代入得:
∴
∴抛物线解析式为,即
(2)∵AB∥x轴
∴四边形OABC关于抛物线对称轴对称
∴∠AOC=∠BCO,∴B(5,4)
∴AB=2,BC=OA=5
∵四边形OABE的面积为14
∴OE=5
∴CE=3,BE=4
∴
∵∠BEF=∠AOC=∠BCO, ∠EBF=∠CBE
∴△BEF∽△BCE
∴
即
∴
(3)存在点E使得△BEF为等腰三角形
当BE=BF时,则∠BEF=∠BFE
∵∠BEF=∠ACO=∠BCO
∴∠BFE=∠BCE
∴EF与EC重合
∴∠BEC=∠BEF=∠AOC
∴OA∥BE
∵AB∥x轴
∴OE=AB=2
∴E(2,0)
当EB=EF时,则∠EBF=∠EFB
∵△BEF∽△BCE
∴∠BEC=∠BFE
∴∠BEC=∠EBF
∴EC=BC=5
∴OE=OC-EC=8-5=3
∴E(3,0)
当FB=FE时,则∠FBE=∠FEB
∴∠BCO=∠FEB=∠FBE
∴BE=EC,即点E在BC的中垂线上
过E作EM⊥BC,垂足为M;过A作AN⊥OC,垂足为N,
则CM= ,ON=3,OA=5
∵∠AON=∠ECM,∠ANO=∠
∴△AON∽△ECM
∴ 即
∴EC=
∴OE=OC-EC=
∴E(,0)
∴综上所述,存在点E,点E的坐标为(2,0)或(3,0) 或(,0)
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【题目】下列各式计算正确的是( )
A. 2a2+a3=3a5 B. (3xy)2÷(xy)=3xy
C. 2x3x5=6x6 D. (2a2)2=4a2
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【题目】下列命题是真命题的是( )
A. 过直线外一点可以画无数条直线与已知直线平行
B. 如果甲看乙的方向是北偏东60°,那么乙看甲的方向是南偏西30°
C. 3条直线交于一点,对顶角最多有6对
D. 与同一条直线相交的两条直线相交
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点(0.5,0),有下列结论:
①abc>0; ②a﹣2b+4c=0; ③25a﹣10b+4c=0; ④3b+2c>0;⑤a﹣b≥m(am-b).
其中所有正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①③⑤
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【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物,将0.0000025用科学记数法表示为( )
A.0.25×10﹣5
B.0.25×10﹣6
C.2.5×10﹣5
D.2.5×10﹣6
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