Question

如图，一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是

 

．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,轨迹

专题：

分析：过圆形纸片的圆心O₁作两边的垂线，垂足分别为D，E，连AO₁，则在Rt△ADO₁中，可求得AD=

3

2

，即可求得半径为1的圆形纸片绕等边三角形内部运动一周得到的等边三角形的边长，原等边三角形与圆心形成的等边三角形的面积的差就是所求．

解答：解：边长是6的等边三角形的面积是：

3 3 ×62

4

=27

3

．
如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时，
过圆形纸片的圆心O₁作两边的垂线，垂足分别为D，E，
连AO₁，则Rt△ADO₁中，∠O₁AD=30°，O₁D=1，AD=

3

2

．．
则半径为1的圆形纸片绕等边三角形内部运动一周得到的等边三角形的边长是：6-

3

，
则面积是：

3 3 (6- 3 )2

4

，
∴圆形纸片不能接触到的部分的面积是：27

3

-

3 3 (6- 3 )2

4

=

108-9 3

4

．
故答案是：

108-9 3

4

．

点评：本题考查了面积的计算、等边三角形的性质和切线的性质，是基础知识要熟练掌握．解答此题时，利用了切线的性质构建直角三角形．